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sigmoid函数求导

sigmoid函数求导

sigmoid函数:

  1. f
  2. (
  3. x
  4. )
  5. =
  6. 1
  7. 1
  8. +
  9. e
  10. x
  11. f(x)= \frac{1}{1+e^{-x}}
  12. f(x)=1+ex1

sigmoid函数的导数:

  1. f
  2. (
  3. x
  4. )
  5. =
  6. f
  7. (
  8. x
  9. )
  10. (
  11. 1
  12. f
  13. (
  14. x
  15. )
  16. )
  17. f'(x)=f(x)(1-f(x))
  18. f′(x)=f(x)(1−f(x))

推导过程

  • 首先,对 f ( x ) f(x) f(x)进行变形: f ( x ) = 1 1 + e − x = 1 1 + 1 e x = ( 1 + 1 e x ) − 1 = ( e x e x + 1 e x ) − 1 = ( e x + 1 e x ) − 1 = e x e x + 1 = ( e x + 1 ) − 1 e x + 1 = e x + 1 e x + 1 − 1 e x + 1 = 1 − 1 e x + 1 = 1 − ( e x + 1 ) − 1 \begin{aligned} f(x)&= \frac{1}{1+e^{-x}} \ &= \frac{1}{1+\frac{1}{e^x}} \ &=(1+\frac{1}{e^x})^{-1} \ &=(\frac{e^x}{e^x}+\frac{1}{e^x})^{-1} \ &=(\frac{e^{x}+1}{e^x})^{-1} \ &=\frac{e^x}{e^{x}+1} \ &=\frac{(e^{x}+1)-1}{e^{x}+1} \ &=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}-\frac{1}{e^{x}+1} \ &=1-\frac{1}{e^{x}+1} \ &=1-(e^{x}+1)^{-1} \end{aligned} f(x)​=1+e−x1​=1+ex1​1​=(1+ex1​)−1=(exex​+ex1​)−1=(exex+1​)−1=ex+1ex​=ex+1(ex+1)−1​=ex+1ex+1​−ex+11​=1−ex+11​=1−(ex+1)−1​
  • 求导:

注意使用链式法则求导

  1. f
  2. (
  3. x
  4. )
  5. =
  6. (
  7. 1
  8. (
  9. e
  10. x
  11. +
  12. 1
  13. )
  14. 1
  15. )
  16. =
  17. (
  18. 1
  19. )
  20. (
  21. 1
  22. )
  23. (
  24. e
  25. x
  26. +
  27. 1
  28. )
  29. 2
  30. e
  31. x
  32. =
  33. (
  34. e
  35. x
  36. +
  37. 1
  38. )
  39. 2
  40. e
  41. x
  42. =
  43. (
  44. e
  45. x
  46. +
  47. 1
  48. )
  49. 1
  50. (
  51. e
  52. x
  53. +
  54. 1
  55. )
  56. 1
  57. e
  58. x
  59. \begin{aligned} f'(x)&=(1-(e^{x}+1)^{-1})' \\ &=(-1)(-1)(e^{x}+1)^{-2} e^{x}\\ &=(e^{x}+1)^{-2} e^{x}\\ &=(e^{x}+1)^{-1}(e^{x}+1)^{-1} e^{x} \end{aligned}
  60. f′(x)​=(1−(ex+1)−1)′=(−1)(−1)(ex+1)−2ex=(ex+1)−2ex=(ex+1)−1(ex+1)−1ex

由前面提到的

  1. f
  2. (
  3. x
  4. )
  5. f(x)
  6. f(x)的变形可知:
  7. f
  8. (
  9. x
  10. )
  11. =
  12. 1
  13. 1
  14. +
  15. e
  16. x
  17. =
  18. (
  19. 1
  20. +
  21. e
  22. x
  23. )
  24. 1
  25. =
  26. e
  27. x
  28. e
  29. x
  30. +
  31. 1
  32. =
  33. e
  34. x
  35. (
  36. e
  37. x
  38. +
  39. 1
  40. )
  41. 1
  42. \begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{1+e^{-x}} =(1+e^{-x})^{-1}=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=e^{x}(e^{x}+1)^{-1} \end{aligned}
  43. f(x)​=1+ex1​=(1+ex)−1=ex+1ex​=ex(ex+1)−1

所以

  1. f
  2. (
  3. x
  4. )
  5. =
  6. (
  7. e
  8. x
  9. +
  10. 1
  11. )
  12. 1
  13. (
  14. e
  15. x
  16. +
  17. 1
  18. )
  19. 1
  20. e
  21. x
  22. =
  23. (
  24. e
  25. x
  26. +
  27. 1
  28. )
  29. 1
  30. e
  31. x
  32. (
  33. e
  34. x
  35. +
  36. 1
  37. )
  38. 1
  39. =
  40. (
  41. e
  42. x
  43. +
  44. 1
  45. )
  46. 1
  47. (
  48. 1
  49. +
  50. e
  51. x
  52. )
  53. 1
  54. =
  55. 1
  56. e
  57. x
  58. +
  59. 1
  60. 1
  61. 1
  62. +
  63. e
  64. x
  65. =
  66. (
  67. e
  68. x
  69. +
  70. 1
  71. )
  72. e
  73. x
  74. e
  75. x
  76. +
  77. 1
  78. 1
  79. 1
  80. +
  81. e
  82. x
  83. =
  84. (
  85. e
  86. x
  87. +
  88. 1
  89. e
  90. x
  91. +
  92. 1
  93. e
  94. x
  95. e
  96. x
  97. +
  98. 1
  99. )
  100. 1
  101. 1
  102. +
  103. e
  104. x
  105. =
  106. (
  107. 1
  108. e
  109. x
  110. e
  111. x
  112. +
  113. 1
  114. )
  115. 1
  116. 1
  117. +
  118. e
  119. x
  120. =
  121. (
  122. 1
  123. 1
  124. 1
  125. +
  126. e
  127. x
  128. )
  129. 1
  130. 1
  131. +
  132. e
  133. x
  134. =
  135. (
  136. 1
  137. f
  138. (
  139. x
  140. )
  141. )
  142. f
  143. (
  144. x
  145. )
  146. =
  147. f
  148. (
  149. x
  150. )
  151. (
  152. 1
  153. f
  154. (
  155. x
  156. )
  157. )
  158. \begin{aligned} f'(x)&=(e^{x}+1)^{-1} \cdot (e^{x}+1)^{-1} e^{x} \\ &= (e^{x}+1)^{-1} \cdot e^{x}(e^{x}+1)^{-1} \\ &=(e^{x}+1)^{-1} \cdot (1+e^{-x})^{-1} \\ &=\frac{1}{e^{x}+1} \cdot \frac{1}{1+e^{-x}} \\ &=\frac{(e^{x}+1)-e^{x}}{e^{x}+1} \cdot \frac{1}{1+e^{-x}} \\ &=(\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}) \cdot \frac{1}{1+e^{-x}} \\ &=(1-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}) \cdot \frac{1}{1+e^{-x}} \\ &=(1-\frac{1}{1+e^{-x}}) \cdot \frac{1}{1+e^{-x}} \\ &=(1-f(x)) \cdot f(x) \\ &=f(x)(1-f(x)) \end{aligned}
  159. f′(x)​=(ex+1)−1⋅(ex+1)−1ex=(ex+1)−1⋅ex(ex+1)−1=(ex+1)−1⋅(1+e−x)−1=ex+11​⋅1+e−x1​=ex+1(ex+1)−ex​⋅1+e−x1​=(ex+1ex+1​−ex+1ex​)⋅1+e−x1​=(1−ex+1ex​)⋅1+e−x1​=(1−1+e−x1​)⋅1+e−x1​=(1−f(x))⋅f(x)=f(x)(1−f(x))​
标签: 算法 人工智能

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