🔥 作者：FrigidWinter
🔥 简介：主攻机器人与人工智能领域的理论研究和工程应用，业余丰富各种技术栈。主要涉足：【机器人(ROS)】【机器学习】【深度学习】【计算机视觉】
🔥 专栏：
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- …
目录
1 引例
给定如图所示的某个函数，如何通过计算机算法编程求
f ( x ) m i n f(x)_{min} f(x)min？
2 数值解法
传统方法是数值解法，如图所示
按照以下步骤迭代循环直至最优：
**① 任意给定一个初值
x
0
x_0
x0；**
**② 随机生成增量方向，结合步长生成
Δ
x
\varDelta x
Δx；**
**③ 计算比较
f
(
x
0
)
f\left( x_0 \right)
f(x0)与
f
(
x
0
+
Δ
x
)
f\left( x_0+\varDelta x \right)
f(x0+Δx)的大小，若
f
(
x
0
+
Δ
x
)
<
f
(
x
0
)
f\left( x_0+\varDelta x \right) <f\left( x_0 \right)
f(x0+Δx)<f(x0)则更新位置，否则重新生成
Δ
x
\varDelta x
Δx；**
**④ 重复②③直至收敛到最优
f
(
x
)
m
i
n
f(x)_{min}
f(x)min。**
数值解法最大的优点是编程简明，但缺陷也很明显：
① 初值的设定对结果收敛快慢影响很大；
② 增量方向随机生成，效率较低；
③ 容易陷入局部最优解；
④ 无法处理“高原”类型函数。
所谓陷入局部最优解是指当迭代进入到某个极小值或其邻域时，由于步长选择不恰当，无论正方向还是负方向，学习效果都不如当前，导致无法向全局最优迭代。就本问题而言如图所示，当迭代陷入
x
=
x
j
x=x_j
x=xj时，由于学习步长
s
t
e
p
step
step的限制，无法使
f
(
x
j
±
S
t
e
p
)
<
f
(
x
j
)
f\left( x_j\pm Step \right) <f(x_j)
f(xj±Step)<f(xj)，因此迭代就被锁死在了图中的红色区段。可以看出
x
=
x
j
x=x_j
x=xj并非期望的全局最优。
若出现下图所示的“高原”函数，也可能使迭代得不到更新。
3 梯度下降算法
梯度下降算法可视为数值解法的一种改进，阐述如下：
记第
k
k
k轮迭代后，自变量更新为
x
=
x
k
x=x_k
x=xk，令目标函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
k
x=x_k
x=xk泰勒展开：
f
(
x
)
=
f
(
x
k
)
+
f
′
(
x
k
)
(
x
−
x
k
)
+
o
(
x
)
f\left( x \right) =f\left( x_k \right) +f'\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) +o(x)
f(x)=f(xk)+f′(xk)(x−xk)+o(x)
考察
f
(
x
)
m
i
n
f(x)_{min}
f(x)min，则期望
f
(
x
k
+
1
)
<
f
(
x
k
)
f\left( x_{k+1} \right) <f\left( x_k \right)
f(xk+1)<f(xk)，从而：
f
(
x
k
+
1
)
−
f
(
x
k
)
=
f
′
(
x
k
)
(
x
k
+
1
−
x
k
)
<
0
f\left( x_{k+1} \right) -f\left( x_k \right) =f'\left( x_k \right) \left( x_{k+1}-x_k \right) <0
f(xk+1)−f(xk)=f′(xk)(xk+1−xk)<0
若
f
′
(
x
k
)
>
0
f'\left( x_k \right) >0
f′(xk)>0则
x
k
+
1
<
x
k
x_{k+1}<x_k
xk+1<xk，即迭代方向为负；反之为正。不妨设
x
k
+
1
−
x
k
=
−
f
′
(
x
k
)
x_{k+1}-x_k=-f'(x_k)
xk+1−xk=−f′(xk)，从而保证
f
(
x
k
+
1
)
−
f
(
x
k
)
<
0
f\left( x_{k+1} \right) -f\left( x_k \right) <0
f(xk+1)−f(xk)<0。必须指出，泰勒公式成立的条件是
x
→
x
0
x\rightarrow x_0
x→x0，故
∣
f
′
(
x
k
)
∣
|f'\left( x_k \right) |
∣f′(xk)∣不能太大，否则
x
k
+
1
x_{k+1}
xk+1与
x
k
x_{k}
xk距离太远产生余项误差。因此引入**学习率
γ
∈
(
0
,
1
)
\gamma \in \left( 0, 1 \right)
γ∈(0,1)**来减小偏移度，即
x
k
+
1
−
x
k
=
−
γ
f
′
(
x
k
)
x_{k+1}-x_k=-\gamma f'(x_k)
xk+1−xk=−γf′(xk)
在工程上，学习率
γ
\gamma
γ要结合实际应用合理选择，
γ
\gamma
γ过大会使迭代在极小值两侧振荡，算法无法收敛；
γ
\gamma
γ过小会使学习效率下降，算法收敛慢。
对于向量 ，将上述迭代公式推广为
x
k
+
1
=
x
k
−
γ
∇
x
k
{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}+1}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}}-\gamma \nabla _{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{k}}}}
xk+1=xk−γ∇xk
其中
∇
x
=
(
∂
f
(
x
)
∂
x
1
,
∂
f
(
x
)
∂
x
2
,
⋯
⋯
,
∂
f
(
x
)
∂
x
n
)
T
\nabla _{\boldsymbol{x}}=\left( \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2},\cdots \cdots ,\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \right) ^T
∇x=(∂x1∂f(x),∂x2∂f(x),⋯⋯,∂xn∂f(x))T为多元函数的梯度，故此迭代算法也称为**梯度下降算法**
梯度下降算法通过函数梯度确定了每一次迭代的方向和步长，提高了算法效率。但从原理上可以知道，此算法并不能解决数值解法中初值设定、局部最优陷落和部分函数锁死的问题。
4 代码实战：Logistic回归
import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit
'''
* @breif: 从CSV中加载指定数据
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加载的列名
* @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型
* @retval: mode模式下的返回值
'''defloadCsvData(file, colName, mode='df'):assert mode in('set','df')
df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)if mode =='df':return df
if mode =='set':
res ={}for col in colName:
res[col]= df[col].values
return res
if __name__ =='__main__':# ============================# 读取CSV数据# ============================
csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__,"../../data/dataset3.0alpha.csv"))
dataX = loadCsvData(csvPath,["含糖率","密度"],'df')
dataY = loadCsvData(csvPath,["好瓜"],'df')
label = np.array([1if i =="是"else0for i inlist(map(lambda s: s.strip(),list(dataY['好瓜'])))])# ============================# 绘制样本点# ============================
line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'SimHei']
plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation')
plt.xlabel('density')
plt.ylabel('sugarRate')
plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
dataX['含糖率'][label==0],
marker='^',
color='k',
s=100,
label='坏瓜')
plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
dataX['含糖率'][label==1],
marker='^',
color='r',
s=100,
label='好瓜')# ============================# 实例化对数几率回归模型# ============================
logit = Logit(dataX, label)# 采用梯度下降法
logit.logitRegression(logit.gradientDescent)
line_y =-logit.w[0,0]/ logit.w[1,0]* line_x - logit.w[2,0]/ logit.w[1,0]
plt.plot(line_x, line_y,'b-', label="梯度下降法")# 绘图
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()
本文转载自: https://blog.csdn.net/FRIGIDWINTER/article/details/122776239
版权归原作者 FrigidWinter 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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