逻辑回归（Logistic Regression）原理及其应用

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看到上面的例子，我们可以发现其中的特点，那就是都属于两个类别之间的判断。逻辑回归就是解决二分类问题的利器。

注意：逻辑回归虽然名字中有回归二字，但是它不是回归算法，而是分类算法。

第二章：逻辑回归的原理

1.输入

这是线性回归输出的结果，我们一般可以写成矩阵形式。如下：

权重和偏置分别用矩阵表示之后，将上面的式子可以写成下面的：

重点：逻辑回归的输入就是一个线性回归的结果。

2.Sigmoid函数

图像为：

观察该图像，自变量取值范围是（-∞，+∞），因变量取值范围为（0,1），意思是无论自变量取值多少，都可以通过sigmoid函数映射到（0,1）之间。

总结：sigmoid函数，会把线性回归的结果映射到【0,1】之间，假设0.5为阈值，默认会把小于0.5的为0，大于0.5的为1，这样就可以分类了

假设：预测函数为：

其中

以上两式的意思是，先把线性回归的结果用矩阵表示，在将表示的结果放到sigmoid函数当中。

分类任务:

理解：以丢硬币的概率举例，假如正面的概率是0.7，那么反面的概率是1-0.7=0.3

将上面两个式子进行整合，得到：

这个式子的特点，当y=0的时候，整体会等于右边这个式子，当y=1的时候，整体会等于左边这个式子。

3.损失函数

为求出好的逻辑回归，引出损失函数 ：

①损失函数是体现“预测值”和“真实值”，相似程度的函数

②损失函数越小，模型越好

逻辑回归的损失，称之为对数似然损失，公式如下：

这个式子也不陌生，将上面整合的式子，取对数，原先是相乘，取对数之后会相加，指数也可以移到前面。

假定样本与样本之间相互独立，那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积，再将公式对数化，便可得到如下公式：

举例：求损失

其中，y代表真实结果，h(x)或者1-h（x）表示的是逻辑回归结果（也是预测值），将值带入即可得到。

4.优化损失

采用梯度下降：

理解：α为学习速率，需要手动指定，α旁边的整体表示方向

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果

图像表示如下：

就是不断的缩小自身的值，最后找到最低点。

第三章 逻辑回归应用案例

1.数据集

原始数据集下载

网址：Index of /ml/machine-learning-databases/breast-cancer-wisconsinhttps://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/breast-cancer-wisconsin/

打开之后，下载红色标注的两个。

其中data里面是数据，共699条样本，共11列数据，第一列用语检 索的id，后9列分别是与肿瘤相关的医学 特征，最后一列表示肿瘤类型的数值。包含16个缺失值，用”?”标出。

names里面是对data文件的描述，主要是对data里面每列的说明，最后一列是类别。

2.具体流程

1.读取数据

需要注意的是数据和列明分开了，因此在进行读取的时候，要一块读取。

import pandas as pd
import numpy as np
# 1.读取数据
path = "breast-cancer-wisconsin.data"
column_name = ['Sample code number', 'Clump Thickness', 'Uniformity of Cell Size', 'Uniformity of Cell Shape',
                   'Marginal Adhesion', 'Single Epithelial Cell Size', 'Bare Nuclei', 'Bland Chromatin',
                   'Normal Nucleoli', 'Mitoses', 'Class']

data = pd.read_csv(path, names=column_name)
# print(data)

2.缺失值处理

# 2、缺失值处理
# 1）替换-》np.nan
data = data.replace(to_replace="?", value=np.nan)
# 2）删除缺失样本
data.dropna(inplace=True)

3.划分数据集

# 3、划分数据集
from sklearn.model_selection import train_test_split
# 筛选特征值和目标值
x = data.iloc[:, 1:-1]
y = data["Class"]
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y)

4.标准化

把原始数据转化到均值为0，标准差为1的范围内

# 4、标准化
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)

5.预估器流程

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 5、预估器流程
estimator = LogisticRegression()
estimator.fit(x_train, y_train)
# 逻辑回归的模型参数：回归系数和偏置
# estimator.coef_
# estimator.intercept_

6.模型评估

# 6、模型评估
# 方法1：直接比对真实值和预测值
y_predict = estimator.predict(x_test)
print("y_predict:\n", y_predict)
print("直接比对真实值和预测值:\n", y_test == y_predict)
# 方法2：计算准确率
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)

7.结果展示

代码还未结束，后面还有评估代码

第四章 分类评估算法

1.分类的评估方法------精确率与召回率

我们往往并不关注准确率，而是关注癌症患者中癌症患者有没有检测出来，于是就有了精确率与召回率。

在分类任务下，预测结果(Predicted Condition)与正确标记(True Condition)之间存在四种不同的组合，构成混淆矩阵。

精确率：

预测结果为正例样本中真实结果为正例的比例，在混淆矩阵中展示情况为：

召回率：

真实结果为正例的样本中预测结果为正例的比例，在混淆矩阵中展示情况为：

总结：

精确率是预测结果的正例中有多少是真正预测正确的

召回率是真实结果的正例有多少被预测对了

以上就是精确率和召回率，现在介绍F1-score

F1-score

反映了模型的稳健型，F1值大的话，精确率和召回率也大

现在用代码实现精确率、召回率和F1-score

# 查看精确率、召回率、F1-score
from sklearn.metrics import classification_report
report = classification_report(y_test, y_predict, labels=[2, 4], target_names=["良性", "恶性"])
print(report)

结果为：

在引入ROC曲线和AUC指标之前，举个样本不均衡的例子

思考？

假设这样一个情况，如果99个样本癌症，1个样本非癌症，不管怎样我全都预测正例(默认癌症为正例)

将这写信息写入混淆矩阵中，如下：

分别计算：

准确率：99%

精确率：99/(99+1)=99%

召回率：99/(99+0)=100%

F1-score:2*99%*100%/99%+100%=99.497487%

可以看出，这是一个不负责的模型，根本原因在于样本不均衡，正例太多，反例太少。引入ROC曲线和AUC指标。

2.分类的评估方法------ROC曲线和AUC指标

在引入ROC曲线和AUC指标之前，还要了解TPR与FPR。

TPR = TP / (TP + FN)

所有真实类别为1的样本中，预测类别为1的比例

FPR = FP / (FP + TN)

所有真实类别为0的样本中，预测类别为1的比例

分类的评估方法------ROC曲线和AUC指标

蓝色的线就是ROC曲线，AUC指标是ROC曲线与纵轴和横轴的面积。

现在介绍这张图：

ROC曲线的横轴就是FPRate，纵轴就是TPRate，当二者相等时，表示的意义则是：对于不论真实类别是1还是0的样本，分类器预测为1的概率是相等的，此时AUC为0.5（即随机猜测）

AUC的最小值为0.5，最大值为1，取值越高越好

AUC=1，完美分类器，采用这个预测模型时，不管设定什么阈值都能得出完美预测。绝大多数预测的场合，不存在完美分类器。

0.5<AUC<1，优于随机猜测。这个分类器（模型）妥善设定阈值的话，能有预测价值

结论：

最终AUC的范围在[0.5, 1]之间，并且越接近1越好。

通过代码实现，计算ROC曲线面积，即AUC指标：

# y_true：每个样本的真实类别，必须为0(反例),1(正例)标记
# 将y_test 转换成 0 1
y_true = np.where(y_test > 3, 1, 0)
from sklearn.metrics import roc_auc_score
print("AUC指标：",roc_auc_score(y_true, y_predict))

其结果展示：

总结：

AUC只能用来评价二分类

AUC非常适合评价样本不平衡中的分类器性能

现在知道了ROC曲线和AUC指标，再回到前面提到的样本不均衡的例子，即思考那个地方。

TPR:99/99+0=100%

FPR:1/1+0=100%

TPR=FPR

AUC=0.5

对于这种样本不均衡的情况下，AUC指标是0.5，表明这个模型很差。

注：

说明，以上内容来自于黑马程序员机器学习视频的学习。

以上内容也是机器学习课程老师留的作业，原先是PPT形式，觉得整体上比较完整，因此将此发到博客上，让以后的自己和他人学习。2022.6.16