树和二叉树 --- 数据结构

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n (n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、.......Tm，其中每一个集合Ti(1 <= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

树型结构：注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念：

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点亲兄弟

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推;

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、l互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m (m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.2树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解一下，其中最常用的是孩子兄弟表示法。

1.双亲表示法

struct TreeNode
{
    int data;
    int parent;    //双亲的下标
}

2.孩子表示法

如果明确了树的度可以定义：

struct TreeNode
{
    int data;
    struct TreeNode* child1;
    struct TreeNode* child2;
    // . . .
    //树的度是几就定于几个孩子
}

不知道树的度可以采用线性表存储孩子，通常采用的是“顺序表+链表”的组合结构

typedef struct CTNode{
    //链表中每个结点存储的不是数据本身，
    //而是数据在数组中存储的位置下标!!
    int child;
    struct CTNode * next;
}ChildPtr;

typedef struct TreeNode
    //结点的数据类型
    TElemType data;
    //孩子链表的头指针
    ChildPtr* firstchild;
}TreeNode;

3.孩子双亲表示法相当于链表中的循环链表，这里就不做介绍了

**4.**孩子兄弟表示法

typedef int DataType
struct Node
{
    struct Node* fristChild;    //指向该节点的第一个孩子节点
    struct Node* NextBrother;   //指向该节点的下一个兄弟节点
    DataType data;    //该节点中的数据
}

1.3树在实际生活中的运用

Windows操作系统文件系统，文件树，C盘D盘两个文件树，可以认为是森林。

Linux操作系统树状目录结构

2.二叉树的概念及结构

2.1概念

—棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树：

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^K-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n相同的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树节点个数取值范围是【2^(K-1)，2^K-1】。

2.3二叉树的性质

1.若规定根节点1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点

⒉.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.

3.对任何一棵二叉树,如果度为0的叶结点个数为N0，度为2的分支结点个数为N2，则有N0 = N2+1

二叉树总节点数目为N,有 N=N0+N1+N2，二叉树度数总和为0N0+1N1+2*N2 = N-1

N0+N1+N2-1 = 0N0+1N1+2*N2

N0 = N2+1;

4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n + 1)。(ps: log2(n ＋1)是log以2为底，n+1为对数)
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有:

1. 若 i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2;；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若 2i+1<n，左孩子序号:2i+1，2i+1 >= n无左孩子
3. 若 2i+2<n，右孩子序号:2i+2，2i+2 >= n无右孩子

6.给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2n)/(n+1)。

*7.设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i

带*太难，一般不用。

例题：

1．某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（)

A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198

D 199

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（)

A 非完全二叉树
B 堆
C 队列

D 栈

3.在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（)
A n
B n+1

C n-1

D n/2

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为()

A 11
B 10

C 8

D12

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为()
A 383
B 384

C 385

D 386

答案:1.B 2.A 3.A 4.B 5.B

第3题解析：

因为N0 = N2 + 1

N0+N1+N2 = 2n

N0+N1+N0-1 = 2n

2N0 +N1-1 = 2n 2n为偶数，完全二叉树度为1的结点个数要么是1个，要么没有。所以只能是1

2N0 = 2n N0 = n 同理得出N1= 1 N2 = n-1

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1.顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的文章会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft;    //指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight;   //指向当前节点右孩子
    BTDataType data;     //当前节点值域
}
//三叉链
struct BinaryTreeNode{
    struct BinTreeNode* pParent; //指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft;   //指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight;  //指向当前节点右孩子
    BTDataType _data;     //当前节点值域
};

具体实现我们后面文章介绍

本篇结束