伯努利分布

伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一种离散分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。

在讲伯努利分布前首先需要介绍伯努利试验（Bernoulli Trial）。

伯努利试验

伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量 X：

      P 
     
    
      [ 
     
    
      X 
     
    
      = 
     
    
      1 
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
    
      p 
     
     
    
      P 
     
    
      [ 
     
    
      X 
     
    
      = 
     
    
      0 
     
    
      ] 
     
    
      = 
     
    
      1 
     
    
      − 
     
    
      p 
     
    
   
     P[X=1]=p\\ P[X=0]=1−p 
    
   
 P[X=1]=pP[X=0]=1−p例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「**只有两种可能，试验结果相互独立且对立**」的随机变量通常称为伯努利随机变量。对于伯努利随机变量 X，如果使用 1 表示成功，其概率为 

p(0<p<1)

；使用 0 表示失败，其概率为

q=1-p

。则可以称伯努利随机量 X 服从参数为 p 的伯努利分布，
其分布律为：

      f 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      ∣ 
     
    
      p 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
     
     
       { 
      
      
       
        
         
          
          
              
           
           
           
             p 
            
           
             x 
            
           
           
           
             q 
            
            
            
              1 
             
            
              − 
             
            
              x 
             
            
           
          
            , 
           
          
         
        
        
         
          
          
            x 
           
          
            = 
           
          
            0 
           
          
            , 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
       
        
         
          
          
              
           
          
            0 
           
          
            , 
           
          
         
        
        
         
          
          
            x 
           
          
            ≠ 
           
          
            0 
           
          
            , 
           
          
            1 
           
          
         
        
       
      
     
    
   
     f(x|p)=\begin{cases} \ p^xq^{1-x},&x=0,1\\ \ 0,&x\neq0,1 \end{cases} 
    
   
 f(x∣p)={ pxq1−x, 0,​x=0,1x​=0,1​如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则将这一系列重复的独立试验称为是n重伯努利试验。

伯努利分布

对于伯努利分布来说，其离散型随机变量期望为：

      E 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      ∑ 
     
    
      x 
     
    
      ∗ 
     
    
      p 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      1 
     
    
      ∗ 
     
    
      p 
     
    
      + 
     
    
      0 
     
    
      ∗ 
     
    
      ( 
     
    
      1 
     
    
      − 
     
    
      p 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      p 
     
    
   
     E(x) = ∑x∗p(x) = 1∗p+0∗(1−p) = p 
    
   
 E(x)=∑x∗p(x)=1∗p+0∗(1−p)=p方差为：

  
   
    
    
      D 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      E 
     
    
      ( 
     
     
     
       x 
      
     
       2 
      
     
    
      ) 
     
    
      − 
     
    
      ( 
     
     
     
       E 
      
     
       2 
      
     
    
      ) 
     
    
      ( 
     
    
      x 
     
    
      ) 
     
    
      = 
     
    
      12 
     
    
      ∗ 
     
    
      p 
     
    
      − 
     
    
      p 
     
    
      2 
     
    
      = 
     
    
      p 
     
    
      ( 
     
    
      1 
     
    
      − 
     
    
      p 
     
    
      ) 
     
    
   
     D(x) = E(x^2)−(E^2)(x) = 12∗p−p2 = p(1−p) 
    
   
 D(x)=E(x2)−(E2)(x)=12∗p−p2=p(1−p)