【二叉树】数中的特殊结构-＞堆

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现实生活中的二叉树

1.树概念及结构

1.1树的概念

• 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继， 因此，树是递归定义的

• 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

名称概念节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6叶节点或终端节点** 度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点非终端节点或分支节点度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点双亲节点或父节点若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点树的度一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6节点的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推树的高度或深度树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点节点的祖先**从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙森林由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedefint DataType;structNode{structNode* _firstChild1;// 第一个孩子结点structNode* _pNextBrother;// 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data;// 结点中的数据域};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

• 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 或者为空，或者由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

• 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. . 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(h-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h -1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log(n+1) . (ps： 是log以2为底，n+1为对数)

• . 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点2 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

关于性质三一道题目：

• 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199

答案：A
解析：对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

1. 链式存储 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

typedefint BTDataType;// 二叉链structBinaryTreeNode{structBinTreeNode* pLeft;// 指向当前节点左孩子structBinTreeNode* pRight;// 指向当前节点右孩子
    BTDataType data;// 当前节点值域}// 三叉链structBinaryTreeNode{structBinTreeNode* pParent;// 指向当前节点的双亲structBinTreeNode* pLeft;// 指向当前节点左孩子structBinTreeNode* pRight;// 指向当前节点右孩子
    BTDataType data;// 当前节点值域}；

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结
构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

注意：堆只规定了父节点比孩子节点的关系，并没有规定左右孩子之间的关系

3.3 堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整
成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int arr[]={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};//物理结构是数组，逻辑结构是完全二叉树

//向下调整算法voidAdjustDown(int* a,int n,int parent){int midchild = parent *2+1;while(midchild < n){//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子if(midchild +1< n && a[midchild]> a[midchild +1])//建小堆{
            midchild++;}if(a[parent]> a[midchild]){Swap(&a[parent],&a[midchild]);
            parent = midchild;
            midchild = parent *2+1;}else{break;}}}

3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算
法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int arr[]={1,5,3,8,7,6};

堆的创建可以使用向下调整算法，也可以使用向上调整算法，这里演示一下向上调整算法的实现过程

#include<stdio.h>//交换元素voidSwap(int* e1,int* e2){int tem =*e1;*e1 =*e2;*e2 = tem;}//向下调整算法voidAdjustDown(int* a,int n,int parent){int midchild = parent *2+1;while(midchild < n){//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子if(midchild +1< n && a[midchild]< a[midchild +1]){
            midchild++;}if(a[parent]< a[midchild]){Swap(&a[parent],&a[midchild]);//交换
            parent = midchild;
            midchild = parent *2+1;}else{break;}}}//向上调整算法voidAdjustUp(int* a,int child){int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(a[parent]< a[child]){Swap(&a[parent],&a[child]);
            child = parent;
            parent =(child -1)/2;}else{break;}}}intmain(){int arr[]={1,5,3,8,7,6};int n =sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);//方法一：向下调整算法//从最后一个非叶子节点开始调整，最后一个非叶子节点就是最后一个节点的父亲，//parent=(child-1)/2,  这里的最后一个元素为n-1，所以child=n-1，故parent=(n-1-1)/2for(int i =(n -1-1)/2; i >=0;--i)//建大堆{AdjustDown(arr,n, i);}//方法二：向上调整算法//注意，向上调整算法是从数值一个元素开始//    for (int i = 0; i < n;  ++i)//建大堆//    {//        AdjustUp(arr, i);//    }for(int i =0; i <n;++i){printf("%d ", arr[i]);}return0;}

既然向上调整算法和向下调整算法都可以建堆，那我们应该使用那一种呢？

建议使用向下调整算法，因为它的时间复杂度为O(N)，向上调整算法的时间复杂度为log(N)，（以2为底的对数）

3.2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的
就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

3.2.4 堆的插入

• 假设：向堆中插入一个10 操作过程：先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆

3.2.5 堆的删除

• 删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法。

3.2.6 堆的代码实现

//头文件Heap.h#pragmaonce#include<stdio.h>#include<assert.h>#include<stdlib.h>#include<stdbool.h>typedefint HPDataType;typedefstructHeap{
    HPDataType* a;int size;//有效个数int capacity;//堆的容量}Heap;//堆的初始化voidHeapInit(Heap* php);//堆的销毁voidHeapDestroy(Heap* php);//堆的打印voidHeapPrint(Heap* php);//堆的插入voidHeapPush(Heap* php, HPDataType x);//堆的删除voidHeapPop(Heap* php);//返回堆顶元素
HPDataType HeapTop(Heap* php);//返回堆的元素个数intHeapSize(Heap* php);//判断堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* php);

//函数实现文件Heap.c#include"Heap.h"voidHeapInit(Heap* php){assert(php);
    php->a =NULL;
    php->capacity = php->size =0;}voidHeapDestroy(Heap* php){assert(php);free(php->a);
    php->a =NULL;
    php->capacity = php->size =0;}voidSwap(HPDataType* x1, HPDataType* x2){
    HPDataType tem =*x1;*x1 =*x2;*x2 = tem;}//向上调整算法voidAdjustUp(HPDataType* a,int child){assert(a);int parent =(child -1)/2;while(child >0){if(a[child]< a[parent]){Swap(&a[child],&a[parent]);
            child = parent;
            parent=(child -1)/2;}else{break;}}}voidHeapPush(Heap* php, HPDataType x){assert(php);if(php->capacity == php->size){int newcapacity = php->capacity ==0?4: php->capacity *2;
        HPDataType* tem =(HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType)* newcapacity);if(tem==NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}
        php->a = tem;
        php->capacity = newcapacity;}
    php->a[php->size]= x;
    php->size++;AdjustUp(php->a,php->size-1);}//向下调整算法voidAdjustDown(HPDataType* a,int n,int parent){int midchild = parent *2+1;while(midchild < n){// 找出小的那个孩子if(midchild +1< n && a[midchild]> a[midchild +1]){
            midchild++;}if(a[parent]> a[midchild]){Swap(&a[parent],&a[midchild]);
            parent = midchild;
            midchild = parent *2+1;}else{break;}}}voidHeapPop(Heap* php){assert(php);assert(!HeapEmpty(php));Swap(&php->a[0],&php->a[php->size -1]);
    php->size--;AdjustDown(php->a, php->size,0);}

HPDataType HeapTop(Heap* php){assert(php);assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];}intHeapSize(Heap* php){assert(php);return php->size;}

bool HeapEmpty(Heap* php){assert(php);return php->size ==0;}voidHeapPrint(Heap* php){assert(php);for(int i =0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");}

4.堆的实现与应用

4.1 堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是
通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

• 升序：建大堆
• 降序：建小堆

1. 利用堆删除思想来进行排序

#include<stdio.h>voidSwap(int* e1,int* e2){int tem =*e1;*e1 =*e2;*e2 = tem;}voidAdjustDown(int* a,int n,int parent){int midchild = parent *2+1;while(midchild < n){//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子if(midchild +1< n && a[midchild]< a[midchild +1]){
            midchild++;}if(a[parent]< a[midchild]){Swap(&a[parent],&a[midchild]);
            parent = midchild;
            midchild = parent *2+1;}else{break;}}}//堆排序voidHeapSort(int* a,int n){//建堆int i =0;for(i =(n-2)/2; i >=0;--i){AdjustDown(a, n, i);}for(i =0; i < n; i++){Swap(&a[0],&a[n - i -1]);AdjustDown(a, n - i-1,0);}}intmain(){int arr[]={30,60,12,40,8,10,70};int n =sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);HeapSort(arr,n);for(int i =0; i < n;++i){printf("%d ", arr[i]);}return0;}

4.2 TOP-K问题

• TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。 比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆（适用于数据量较小的时候） .
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素注意：当数据量大的时候最适合用这种方法

• 实例：我们在10000个数选出最大的前10个元素

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>voidSwap(int* e1,int* e2){int tem =*e1;*e1 =*e2;*e2 = tem;}//向下调整算法voidAdjustDown(int* a,int n,int parent){int midchild = parent *2+1;while(midchild < n){//建小堆找小的那个孩子，建大堆找的大的孩子if(midchild +1< n && a[midchild]> a[midchild +1]){
            midchild++;}if(a[parent]> a[midchild]){Swap(&a[parent],&a[midchild]);//交换
            parent = midchild;
            midchild = parent *2+1;}else{break;}}}//咱们求最大的前10个数voidPrintTopK(int* a,int n,int k){// 1. 建堆--用a中前k个元素建小堆int i =0;for(i =(k -1-1)/2; i >=0;--i){AdjustDown(a, k, i);}// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换for(i = k; i < n; i++){if(a[i]> a[0])//建小堆的意义在这，把大于堆顶的元素入堆{
            a[0]= a[i];AdjustDown(a, k,0);//重新将数组首元素这个位置向下调整，使其成为小堆}}printf("\n前Top10分别为：");for(i =0; i < k; i++){printf("%d ", a[i]);}}voidTestTopk(){int n =10000;int* a =(int*)malloc(sizeof(int)* n);srand((unsignedint)time(0));for(int i =0; i < n;++i){
        a[i]=rand()%1000000;//制造10000个小于1000000的随机数}//手动将大于1000000的数加上，不出意外，等下选出的就是这些数，因为他们是前top10
    a[5]=1000000+1;
    a[1231]=1000000+2;
    a[531]=1000000+3;
    a[5121]=1000000+4;
    a[115]=1000000+5;
    a[2335]=1000000+6;
    a[9999]=1000000+7;
    a[76]=1000000+8;
    a[423]=1000000+9;
    a[3144]=1000000+10;PrintTopK(a, n,10);free(a);}intmain(){TestTopk();return0;}