线性代数（五） | 矩阵对角化 特征值 特征向量

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1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么？

矩阵实际上是一种变换,是一种旋转伸缩变换（方阵） 不是方阵的话还有可能是一种升维和降维的变换
直观理解可以看系列超赞视频线性代数-哔哩哔哩_Bilibili

比如A=

     ( 
    
    
     
      
       
       
         1 
        
       
      
      
       
       
         2 
        
       
      
     
     
      
       
       
         2 
        
       
      
      
       
       
         1 
        
       
      
     
    
   
     ) 
    
   
  
    \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} 
   
  
(12​21​) x= 
 
  
   
   
     ( 
    
    
     
      
       
       
         1 
        
       
      
     
     
      
       
       
         2 
        
       
      
     
    
   
     ) 
    
   
  
    \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} 
   
  
(12​)

我们给x左乘A实际上是对x进行了一次旋转伸缩变换 Ax=

     ( 
    
    
     
      
       
       
         5 
        
       
      
     
     
      
       
       
         4 
        
       
      
     
    
   
     ) 
    
   
  
    \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} 
   
  
(54​)

而我们如果仅仅是单纯的伸缩变换，而如果A对x仅仅只能伸缩变换，而不能旋转变换，则称为x为矩阵A的特征向量，伸缩变换的倍数即为特征值

2 求特征值和特征向量

（1）写出特征多项式

     ∣ 
    
   
     E 
    
   
     − 
    
   
     A 
    
   
     ∣ 
    
   
     = 
    
   
     0 
    
   
  
    |E-A|=0 
   
  
∣E−A∣=0 求得特征值

（2）代入特征值求解方程组，解即为我们的特征向量

矩阵的迹

矩阵乘积为行列式

3 特征值和特征向量的应用

已知A的特征值

则

      A 
     
     
     
       − 
      
     
       1 
      
     
    
   
  
    A^{-1} 
   
  
A−1的特征值可求

A的一个多项式特征值可求

所以把我们要求的值转换为A的多项式，进而求出特征值，求出行列式的值

4 矩阵的对角化

非对称矩阵对角化

（1）求解特征值和特征向量

（2）特征向量组成我们的相乘矩阵P 特征值作为主对角线上的元素的对角矩阵就是我们对角化的矩阵

对称矩阵对角化求正交矩阵

（1）求解特征值值和特征向量

（2）施密特正交化重根对应的特征向量，再单位化所有特征向量

（3）取向量依次组成我们的正交矩阵Q