【数据结构】------ 堆

堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki = K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

(所有数组都可以表示为完全二叉树，但不一定可以表示为堆)

假设parent是父亲节点在数组中的下标，leftchild=parent2+1，rightchild=parent2+2。

假设孩子在数组中的下标是child,不管是左孩子还是右孩子，parent=(child-1)/2。）

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

大堆：树中一个树及子树中，父亲都大于等于孩子。

小堆：树中一个树及子树中，父亲都小于等于孩子。

堆的实现

堆向上调整算法

当我们在一个堆的末尾插入一个数据后，需要对堆进行调整，使其仍然是一个堆，这时需要用到堆的向上调整算法。

向上调整算法的基本思想（以建小堆为例）：
 1.将目标结点与其父结点比较。
 2.若目标结点的值比其父结点的值小，则交换目标结点与其父结点的位置，并将原目标结点的父 结点当作新的目标结点继续进行向上调整。若目标结点的值比其父结点的值大，或者已经调整 到了根节点，则停止调整，此时该树已经是小堆了。

void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{
    HPDataType tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
void AdjustUp(int* a,int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    //while (parent > 0)
    //parent =0 ---恒成立，循环是通过beak跳出去的，不符合要求，但是能达到想要的效果
    while (child > 0)
    {
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;//负数除2 parent=0

        }
        else
        {
            break;
        }
        
    }
}

堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

向下调整为小堆，那么根结点的左右子树必须都为小堆。
向下调整为大堆，那么根结点的左右子树必须都为大堆。

向下调整为小堆示意图：

int a[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{
    HPDataType tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
    int child = 2 * parent + 1;
    
    //调整结束条件：
    //父亲 <= 小的孩子，停止
    //调整到叶子节点（叶子节点没有孩子，左孩子下标超出数组范围，则是调整到叶子节点）
    while (child < n)
    {
        //选出左右孩子小的那一个（小堆）
        if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//右孩子可能不存在
        {
            ++child;
        }
        //如果小的孩子小于父亲，则交换，并继续向下调整（小堆）
        if (a[child] < a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = 2 * parent + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

使用堆的向下调整算法，最坏的情况下（即一直需要交换结点），需要循环的次数为：h - 1次（h为树的高度）。而h = log2(N+1)（N为树的总结点数）。所以堆的向下调整算法的时间复杂度为：O(logN) 。

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

倒数的第一个****是最后一个节点的父亲

child=parent*2+1

parent=(child-1)/2

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(a, n, i);
    }

**建堆的时间复杂度：O(N) **

堆的初始化和销毁

堆的结构：

typedef int HPDataType;//堆的数据类型
typedef struct Heap
{
    HPDataType* a;//数组--存储堆
    int size;    //堆中数据的个数
    int capacity;//数组的容量
}HP;

构建一个堆首先对结构进行初始化，使用完堆后要进行销毁（为了避免内存泄漏，使用完动态开辟的内存空间后都要及时释放该空间）

void HeapInit(HP* hp)
{
    assert(hp);
    hp->a = NULL;
    hp->size = hp->capacity = 0;

}
void HeapDestory(HP* hp)
{
    assert(hp);
    free(hp->a);
    hp->size = hp->capacity = 0;
}
//打印堆中的数据
void HeapPrint(HP* hp)
{
    assert(hp);
    for (int i = 0; i < hp->size; i++)
    {
        printf("%d ",hp->a[i]);
    }
    printf("\n");
}

堆的插入

在堆的末尾插入数据，向上调整成为小堆（大堆）

void HeapPush(HP* hp, HPDataType x)
{
    assert(hp);
    if (hp->size == hp->capacity)
    {
        size_t newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
        HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType)*newcapacity);
        if (tmp == NULL)
        {
            printf("realloc fail\n");
            exit(-1);
        }
        hp->a = tmp;
        hp->capacity = newcapacity;
    }
    
    hp->a[hp->size] = x;
    hp->size++;
    //向上调整
    AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据和最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

//删除堆顶的数据
void HeapPop(HP* hp)
{
    assert(hp);
    assert(!HeapEmpty(hp));

    Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
    hp->size--;

    AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);
}

获取堆顶的数据

HPDataType HeapTop(HP* hp)
{
    assert(hp);
    assert(!HeapEmpty(hp));
    return hp->a[0];
}

获取堆的数据个数

int HeapSize(HP* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->size;
}

堆的判空

bool HeapEmpty(HP* hp)
{
    assert(hp);
    return hp->size == 0;
}

TopK问题（在N个数找出最大（小）的前K个）

例：
1000个数找出最大的前10个
方式一：先排降序，前十个就是最大的。时间复杂度：O(N+logNK),排序方法可用快排，归并等。
方式二：N个数依次插入大堆(时间复杂度：N)，Pop K次，每次取堆顶的数据，就是前K个。时间复杂度：O(N+logNK)
方式三：假设N非常大，N是十亿，内存中存不下这些数，他们存在文件中，K是100。这时方式一和方式二都不能用了。
1.用前K个数建立一个K个数的小堆。
2.剩下的N-K个数，依次跟堆顶的数据进行比较，如果比堆顶数据大，就替换堆顶的数据，再向下调整。
3.最后堆里面K个数就是最大的K个数。时间复杂度：K+(N-K)logK ----> O(N*logK)

方式三代码：

//Topk问题
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
    HP hp;
    HeapInit(&hp);
    //前K个数建立小堆
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        HeapPush(&hp, a[i]);
    }
    //N-K 个数依次和堆顶的数据比较
    for (int i = k; i < n; i++)
    {
        if (a[i] > HeapTop(&hp))
        {
            HeapPop(&hp);
            HeapPush(&hp, a[i]);

            //hp.a[0] = a[i];
            //AdjustDown(hp.a,hp.size,0);

        }
    }
    HeapPrint(&hp);
    HeapDestory(&hp);
    
}

堆排序

排升序构建大堆。

排降序构建小堆

堆排序（升序）
1.构建大堆，选出最大的数
2.将第一个数与最后一个数交换
3.将调整后的最后一个数不看成堆里面的数据，向上调整，找出次小的数，将次小的数和最后一个数交换（此时最后一个数实际上是第n-1个数）
4.以此类推，最后堆里面的数据就是升序的了。

void HeapSort(int* a,int n)
{
    //构建大堆（向上调整，从第二个节点开始）
    /*for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        AdjustUp(a, i);
     }*/
    //构建大堆(向下调整，从最后一个非叶子节点，最后一个非叶子节点是最后一个节点的父亲)
    for (int i = (n - 1 -1)/2; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(a, n, i);
    }
    //依次选数，调堆
    for (int end = n - 1; end > 0; end--)
    {
        Swap(&a[end], &a[0]);
        //再调堆，选出次小的数
        AdjustDown(a, end, 0);
    }
}