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图的遍历（详解DFS与BFS）

首先，我们来看一下涉及的知识点：

图：图 G=(V,E) 由顶点集 V 和边集 E 组成。每条边对应一个点对 (v,w)，其中 v，w 属于 V 。如果图中的点对是有序的，那么该图就是有向图，反之为无向图。

邻接点：若顶点 v 与 w 之间存在一条边，则认为顶点 v 与 w 邻接。

权：图中的每条边都可以对应一个数值，这种与边相关的数值称为权。

路径：在图 G 中，顶点 v1 到 vk 的路径是一个顶点序列 v1,v2,···,vk。

连通图：在无向图 G 中，若两个顶点之间存在路径，则认为这两个顶点是连通的。如果在无向图 G 中,任意两个顶点都是连通的，则称 G 是连通图。

完全图：若图中任意两个顶点之间都存在一条边，则该图为完全图。

稀疏图和稠密图：当图中边的数量比较少时，称该图为稀疏图；而当图接近完全图时，称该图为稠密图。

接下来，我们进入正题：

1、深度优先遍历（DFS）

深度优先遍历类似于树的先序遍历。具体方法描述如下：

（1）从起始顶点 v 出发，首先访问顶点 v；
（2）选择一个与顶点 v 相邻接且没有被访问过的顶点 w 作为新的起始点，继续深度优先遍历，直到顶点 v 的所有邻接点都被访问过。

另外，若图不是连通图，则一次深度优先遍历只能访问到起始点所在连通分量中的所有顶点，而访问不到其它顶点。因此要从其它连通分量中选择起始点，继续深度优先遍历，才能将图中的所有顶点都访问一遍。为了保证在遍历过程中每个顶点只会被访问一次，我们借助一个辅助数组 Visit[] 来做一下标记。若 Visit[] 为1，则说明顶点 vi 已被访问过，若为0，则没有被访问过。

邻接矩阵的DFS代码：

# include <iostream>
# include <iomanip>
# define maxn 20
using namespace std;
typedef struct VexType {  //顶点类型
    int code;             //顶点编号
    char data;            //顶点信息
}VexType;
typedef struct Graph {     //邻接矩阵类型
    int arcs[maxn][maxn];  //邻接矩阵
    int vexnum, arcnum;    //顶点数和边的个数
    VexType vexs[maxn];    //顶点信息
    int type;              //邻接矩阵的类型（1.无向图 2.有向图）
}Graph;

int Visit[maxn] = { 0 };   //辅助数组，标记点是否已被访问过

void Create_Graph(Graph& G)   //创建
{
    cout << "请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:";
    cin >> G.type;
    cout << "顶点的个数:";
    cin >> G.vexnum;
    cout << "请输入各顶点的名称:";
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        cin >> G.vexs[i].data;
        G.vexs[i].code = i;  //按顺序为点编号
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            G.arcs[i][j] = 0;  //邻接矩阵初始化，将所有元素的初始值设为0 
        }
    }
    cout << "请输入边的个数:";
    cin >> G.arcnum;
    cout << "请输入各边起点和终点的编号及权重：" << endl;
    int x, y, w;  //x:起始点，y:终点，w:权重
    for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {
        cin >> x >> y >> w;
        if (G.type == 1) {  //如果是无向图，对称边也要赋值为权重
            G.arcs[x][y] = w;
            G.arcs[y][x] = w;
        }
        else {
            G.arcs[x][y] = w;
        }
    }
}
  

void DFS(Graph G, int n)
{
    Visit[n] = 1;            //将起始点标记为已被访问过的状态
    cout << G.vexs[n].data;  //输出起始点的信息
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        //遍历起始点的所有邻接点，若邻接点已被访问过，则p继续向后遍历
        //否则，以当前邻接点为新的起始点递归进行深度优先遍历
        if (!Visit[i] && (G.arcs[n][i] > 0 || G.arcs[i][n] > 0)) {
            DFS(G, i);
        }
    }
}

void DFS_Graph(Graph G)  //深度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        Visit[i] = 0;  //辅助数组初始化
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        if (!Visit[i]) {  //对每一个未被访问过的顶点均调用一次深度优先遍历
            DFS(G, i);
        }
    }
}

int main()
{
    Graph G;
    Create_Graph(G);     //创建
    cout << "DFS:";
    DFS_Graph(G);        //深度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
    cout << endl;
    return 0;
}

邻接表的DFS代码：

# include <iostream>
# include <queue>
# define SIZE 20
# define NEWSIZE 20
using namespace std;
typedef struct ArcNode {  //边的结点结构类型
    int adjvex;           //该边的终点编号
    int weight;           //该边的权值
    struct ArcNode* nextarc;  //指向下一条边的指针
}ArcNode;
typedef struct VexNode {  //顶点结构
    char data;
    ArcNode* firstarc;    //指向第一条与该顶点有关的边的指针
}VexNode;
typedef struct Graph {    //邻接表结构类型
    VexNode* VNode;       //定义邻接表
    int vexnum, arcnum;   //顶点数和边的个数
    int type;             //图的种类
    int size;             //邻接表的大小
}Graph;

int* Visit; //辅助数组，标记点是否已被访问过

void Create_Graph(Graph& G)   //创建
{
    cout << "请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:";
    cin >> G.type;
    cout << "顶点的个数:";
    cin >> G.vexnum;
    G.VNode = (VexNode*)malloc(SIZE * sizeof(VexNode));
    G.size = SIZE;
    while (G.size < G.vexnum) {   //根据点的个数动态分配空间
        G.VNode = (VexNode*)realloc(G.VNode, (G.size + NEWSIZE) * sizeof(VexNode));
        G.size += NEWSIZE;
    }
    Visit = (int*)malloc((G.size + 10) * sizeof(int));
    cout << "请输入各顶点的名称:";
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        cin >> G.VNode[i].data;
        G.VNode[i].firstarc = NULL;  //邻接表初始化，所有单向链表均为空表
    }
    cout << "请输入边的个数:";
    cin >> G.arcnum;
    cout << "请输入各边起点和终点的编号及权重：" << endl;
    int x, y, w;    //x:起始点，y:终点，w:权重
    ArcNode* p, * q;
    for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {
        cin >> x >> y >> w;
        p = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); //创建一个用于存放当前边的结点p
        p->nextarc = NULL;
        p->adjvex = y;
        p->weight = w;
        q = G.VNode[x].firstarc;
        //将边按顺序插入到链表末尾
        if (q == NULL) {   
            G.VNode[x].firstarc = p;
        }
        else {
            while (q->nextarc != NULL) { 
                q = q->nextarc;
            }
            q->nextarc = p;
        }
        if (G.type == 1) {    //如果是无向图，要再创建一个表示对称边的结点p
            p = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
            p->nextarc = NULL;
            p->adjvex = x;
            p->weight = w;
            q = G.VNode[y].firstarc;
            if (q == NULL) {
                G.VNode[y].firstarc = p;
            }
            else {
                while (q->nextarc != NULL) {
                    q = q->nextarc;
                }
                q->nextarc = p;
            }
        }
    }
}

void DFS(Graph G, int n)
{
    Visit[n] = 1;             //将起始点标记为已被访问过的状态
    cout << G.VNode[n].data;  //输出起始点的信息
    ArcNode* p = G.VNode[n].firstarc;
    while (p) {
        //遍历起始点的所有邻接点，若邻接点已被访问过，则p继续向后遍历
        //否则，以当前邻接点为新的起始点递归进行深度优先遍历
        if (!Visit[p->adjvex]) {  
            DFS(G, p->adjvex);
        }
        p = p->nextarc;
    }
}

void DFS_Graph(Graph G)  //深度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        Visit[i] = 0;  //辅助数组初始化
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        if (!Visit[i]) {  //对每一个未被访问过的顶点均调用一次深度优先遍历
            DFS(G, i);
        }
    }
}

int main()
{
    Graph G;
    Create_Graph(G);     //创建
    cout << "DFS:";
    DFS_Graph(G);        //深度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
    cout << endl;
    return 0;
}

运行结果：

请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:1
顶点的个数:8
请输入各顶点的名称:A B C D E F G H
请输入边的个数:9
请输入各边起点和终点的编号及权重：
0 1 3
0 2 12
1 3 5
1 4 6
2 3 7
2 4 10
5 6 9
5 7 4
6 7 13
DFS:ABDCEFGH

对邻接矩阵DFS的时间复杂度为 O(n^2)，对邻接表DFS的时间复杂度为 O(n+e)（ n 是图中顶点的个数，e 是边的个数），但邻接表的创建要较为复杂。

2、广度优先遍历（BFS)

广度优先遍历类似于树的层次遍历。具体方法描述如下：

（1）从起始顶点 v 出发，首先访问顶点 v；

（2）依次访问 v 的所有没有被访问过的邻接点 w1，w2，···，wk；

（3）按照 w1，w2，···，wk 的次序，访问它们各自所有未被访问过的邻接点；

（4）以此类推，直到图中所有与起始点 v 连通的顶点都被访问过为止。

同样，若图不是连通图，则一次广度优先遍历只能访问到与起始点连通的那些顶点，而访问不到其它顶点。因此要从其它连通分量中选择起始点，继续广度优先遍历，才能将图中的所有顶点都访问一遍。为了保证在遍历过程中每个顶点只会被访问一次，我们也要借助一个辅助数组 Visit[] 来做一下标记。若 Visit[] 为1，则说明顶点 vi 已被访问过，若为0，则没有被访问过。

邻接矩阵的BFS代码：

# include <iostream>
# include <iomanip>
# include <queue>
# define maxn 20
using namespace std;
typedef struct VexType {  //顶点类型
    int code;             //顶点编号
    char data;            //顶点信息
}VexType;
typedef struct Graph {     //邻接矩阵类型
    int arcs[maxn][maxn];  //邻接矩阵
    int vexnum, arcnum;    //顶点数和边的个数
    VexType vexs[maxn];    //顶点信息
    int type;              //邻接矩阵的类型（1.无向图 2.有向图）
}Graph;

int Visit[maxn] = { 0 };   //辅助数组，标记点是否已被访问过

void Create_Graph(Graph& G)   //创建
{
    cout << "请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:";
    cin >> G.type;
    cout << "顶点的个数:";
    cin >> G.vexnum;
    cout << "请输入各顶点的名称:";
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        cin >> G.vexs[i].data;
        G.vexs[i].code = i;  //按顺序为点编号
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            G.arcs[i][j] = 0;  //邻接矩阵初始化，将所有元素的初始值设为0 
        }
    }
    cout << "请输入边的个数:";
    cin >> G.arcnum;
    cout << "请输入各边起点和终点的编号及权重：" << endl;
    int x, y, w;  //x:起始点，y:终点，w:权重
    for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {
        cin >> x >> y >> w;
        if (G.type == 1) {  //如果是无向图，对称边也要赋值为权重
            G.arcs[x][y] = w;
            G.arcs[y][x] = w;
        }
        else {
            G.arcs[x][y] = w;
        }
    }
}

void BFS(Graph G, int n)
{
    queue<int>Q;
    Visit[n] = 1;            //将起始点标记为已被访问过的状态
    cout << G.vexs[n].data;  //先输出起始点信息
    Q.push(n);               //起始点入队
    while (!Q.empty()) {     
        n = Q.front();       //队头元素出队
        Q.pop();
        for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
            //遍历当前队头结点的所有邻接点，若邻接点已被访问过，则p继续向后遍历
            //否则入队，并标记为已访问状态，防止重复入队
            if (!Visit[i] && (G.arcs[n][i] > 0 || G.arcs[i][n] > 0)) {
                Visit[i] = 1;
                cout << G.vexs[i].data;
                Q.push(i);
            }
        }
    }
}

void BFS_Graph(Graph G)  //广度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        Visit[i] = 0;   //辅助数组初始化
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        if (!Visit[i]) {  //对每一个未被访问过的顶点均调用一次广度优先遍历
            BFS(G, i);
        }
    }
}

int main()
{
    Graph G;
    Create_Graph(G);     //创建
    cout << "BFS:";
    BFS_Graph(G);        //广度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
    cout<<endl;
    return 0;
}

邻接表的BFS代码：

# include <iostream>
# include <queue>
# define SIZE 20
# define NEWSIZE 20
using namespace std;
typedef struct ArcNode {  //边的结点结构类型
    int adjvex;           //该边的终点编号
    int weight;           //该边的权值
    struct ArcNode* nextarc;  //指向下一条边的指针
}ArcNode;
typedef struct VexNode {  //顶点结构
    char data;
    ArcNode* firstarc;    //指向第一条与该顶点有关的边的指针
}VexNode;
typedef struct Graph {    //邻接表结构类型
    VexNode* VNode;       //定义邻接表
    int vexnum, arcnum;   //顶点数和边的个数
    int type;             //图的种类
    int size;             //邻接表的大小
}Graph;

int* Visit; //辅助数组，标记点是否已被访问过

void Create_Graph(Graph& G)   //创建
{
    cout << "请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:";
    cin >> G.type;
    cout << "顶点的个数:";
    cin >> G.vexnum;
    G.VNode = (VexNode*)malloc(SIZE * sizeof(VexNode));
    G.size = SIZE;
    while (G.size < G.vexnum) {   //根据点的个数动态分配空间
        G.VNode = (VexNode*)realloc(G.VNode, (G.size + NEWSIZE) * sizeof(VexNode));
        G.size += NEWSIZE;
    }
    Visit = (int*)malloc((G.size + 10) * sizeof(int));
    cout << "请输入各顶点的名称:";
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        cin >> G.VNode[i].data;
        G.VNode[i].firstarc = NULL;  //邻接表初始化，所有单向链表均为空表
    }
    cout << "请输入边的个数:";
    cin >> G.arcnum;
    cout << "请输入各边起点和终点的编号及权重：" << endl;
    int x, y, w;    //x:起始点，y:终点，w:权重
    ArcNode* p, * q;
    for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {
        cin >> x >> y >> w;
        p = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); //创建一个用于存放当前边的结点p
        p->nextarc = NULL;
        p->adjvex = y;
        p->weight = w;
        q = G.VNode[x].firstarc;
        //将边按顺序插入到链表末尾
        if (q == NULL) {   
            G.VNode[x].firstarc = p;
        }
        else {
            while (q->nextarc != NULL) { 
                q = q->nextarc;
            }
            q->nextarc = p;
        }
        if (G.type == 1) {    //如果是无向图，要再创建一个表示对称边的结点p
            p = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
            p->nextarc = NULL;
            p->adjvex = x;
            p->weight = w;
            q = G.VNode[y].firstarc;
            if (q == NULL) {
                G.VNode[y].firstarc = p;
            }
            else {
                while (q->nextarc != NULL) {
                    q = q->nextarc;
                }
                q->nextarc = p;
            }
        }
    }
}

void BFS(Graph G, int n)
{
    queue<int>Q;
    Visit[n] = 1;             //将起始点标记为已被访问过的状态
    cout << G.VNode[n].data;  //先输出起始点信息
    Q.push(n);                //起始点入队
    while (!Q.empty()) {
        n = Q.front();        //队头元素出队
        Q.pop();
        ArcNode* p = G.VNode[n].firstarc;
        while (p) {
            //遍历当前队头结点的所有邻接点，若邻接点已被访问过，则p继续向后遍历
            //否则入队，并标记为已访问状态，防止重复入队
            if (!Visit[p->adjvex]) {
                Visit[p->adjvex] = 1;
                cout << G.VNode[p->adjvex].data;
                Q.push(p->adjvex);
            }
            p = p->nextarc;
        }
    }
}

void BFS_Graph(Graph G)  //广度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        Visit[i] = 0;   //辅助数组初始化
    }
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        if (!Visit[i]) {  //对每一个未被访问过的顶点均调用一次广度优先遍历
            BFS(G, i);
        }
    }
}

int main()
{
    Graph G;
    Create_Graph(G);     //创建
    cout << "BFS:";
    BFS_Graph(G);        //广度优先遍历，对每个顶点访问且仅访问一次
    cout << endl;
    return 0;
}

运行结果：

请输入图的类型（1.无向图 2.有向图）:1
顶点的个数:8
请输入各顶点的名称:A B C D E F G H
请输入边的个数:9
请输入各边起点和终点的编号及权重：
0 1 3
0 2 12
1 3 5
1 4 6
2 3 7
2 4 10
5 6 9
5 7 4
6 7 13
BFS:ABCDEFGH

相似的，对邻接矩阵BFS的时间复杂度为 O(n^2)，对邻接表BFS的时间复杂度为 O(n+e)（ n 是图中顶点的个数，e 是边的个数）。

以上就是我这次的全部学习成果，很高兴能与大家分享。

标签： 深度优先 宽度优先 图论
本文转载自: https://blog.csdn.net/CXR_XC/article/details/127811283
版权归原作者 CXR_XC 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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