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小波分析——2. 小波函数及其逆函数

文章目录

小波函数与逆函数，及其离散形式表达

由于小波变换作为一种可以将原始信号分解为不同频带的数学工具，而且在上一章中我们已经简要的介绍了它与傅里叶函数的异同，和一些其他特点，所以在这一章中我们再继续探讨一些关于小波在信号分解和合成方面的数学原理。

首先，还是我们的小波函数，它长下面这个样子：

  1.        W 
  2.       
  3.      
  4.        a 
  5.       
  6.      
  7.        b 
  8.       
  9.      
  10.     
  11.       x 
  12.      
  13.     
  14.       ( 
  15.      
  16.     
  17.       t 
  18.      
  19.     
  20.       ) 
  21.      
  22.     
  23.       = 
  24.      
  25.      
  26.      
  27.        1 
  28.       
  29.       
  30.       
  31.         a 
  32.        
  33.       
  34.      
  35.      
  36.      
  37.        ∫ 
  38.       
  39.       
  40.       
  41.         − 
  42.        
  43.       
  44.         ∞ 
  45.        
  46.       
  47.      
  48.        ∞ 
  49.       
  50.      
  51.     
  52.       x 
  53.      
  54.     
  55.       ( 
  56.      
  57.     
  58.       τ 
  59.      
  60.     
  61.       ) 
  62.      
  63.     
  64.       ψ 
  65.      
  66.      
  67.      
  68.        ( 
  69.       
  70.       
  71.        
  72.        
  73.          τ 
  74.         
  75.        
  76.          − 
  77.         
  78.        
  79.          b 
  80.         
  81.        
  82.       
  83.         a 
  84.        
  85.       
  86.      
  87.        ) 
  88.       
  89.      
  90.     
  91.       d 
  92.      
  93.     
  94.       τ 
  95.      
  96.     
  97.    
  98.      W_a^bx(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\psi\left(\frac{\tau-b}{a}\right)d\tau 
  99.     
  100.    
  101.  Wab​x(t)=a​1​∫−∞∞​x(τ)ψ(aτ−b​)dτ

其中， 

  1.      ψ 
  2.     
  3.     
  4.     
  5.       ( 
  6.      
  7.      
  8.       
  9.       
  10.         τ 
  11.        
  12.       
  13.         − 
  14.        
  15.       
  16.         b 
  17.        
  18.       
  19.      
  20.        a 
  21.       
  22.      
  23.     
  24.       ) 
  25.      
  26.     
  27.    
  28.   
  29.     \psi \left(\frac{\tau-b}{a}\right) 
  30.    
  31.   
  32. ψ(aτ−b​) 是小波函数，比如墨西哥帽小波，Haar小波等，这里的 
  33.  
  34.   
  35.    
  36.    
  37.      a 
  38.     
  39.    
  40.   
  41.     a 
  42.    
  43.   
  44. a 和  
  45.  
  46.   
  47.    
  48.    
  49.      b 
  50.     
  51.    
  52.   
  53.     b 
  54.    
  55.   
  56. b 是尺度和平移参数，又或者你也能在某些教科书中见到这样的写法  
  57.  
  58.   
  59.    
  60.    
  61.      ψ 
  62.     
  63.    
  64.      ( 
  65.     
  66.    
  67.      t 
  68.     
  69.    
  70.      ) 
  71.     
  72.    
  73.   
  74.     \psi(t) 
  75.    
  76.   
  77. ψ(t) 。而  
  78.  
  79.   
  80.    
  81.    
  82.      x 
  83.     
  84.    
  85.      ( 
  86.     
  87.    
  88.      τ 
  89.     
  90.    
  91.      ) 
  92.     
  93.    
  94.   
  95.     x(\tau) 
  96.    
  97.   
  98. x(τ) 是原始信号。

对于上式，其对应的逆变换为：

  1.       x 
  2.      
  3.     
  4.       ( 
  5.      
  6.     
  7.       t 
  8.      
  9.     
  10.       ) 
  11.      
  12.     
  13.       = 
  14.      
  15.      
  16.      
  17.        1 
  18.       
  19.       
  20.       
  21.         C 
  22.        
  23.       
  24.         ψ 
  25.        
  26.       
  27.      
  28.      
  29.      
  30.        ∫ 
  31.       
  32.      
  33.        0 
  34.       
  35.      
  36.        ∞ 
  37.       
  38.      
  39.      
  40.      
  41.        ∫ 
  42.       
  43.       
  44.       
  45.         − 
  46.        
  47.       
  48.         ∞ 
  49.        
  50.       
  51.      
  52.        ∞ 
  53.       
  54.      
  55.      
  56.      
  57.        W 
  58.       
  59.      
  60.        a 
  61.       
  62.      
  63.        b 
  64.       
  65.      
  66.     
  67.       x 
  68.      
  69.     
  70.       ( 
  71.      
  72.     
  73.       t 
  74.      
  75.     
  76.       ) 
  77.      
  78.      
  79.      
  80.        ψ 
  81.       
  82.       
  83.       
  84.         a 
  85.        
  86.       
  87.         , 
  88.        
  89.       
  90.         b 
  91.        
  92.       
  93.      
  94.     
  95.       ( 
  96.      
  97.     
  98.       t 
  99.      
  100.     
  101.       ) 
  102.      
  103.     
  104.       d 
  105.      
  106.     
  107.       a 
  108.      
  109.     
  110.       d 
  111.      
  112.     
  113.       b 
  114.      
  115.     
  116.    
  117.      x(t)=\frac{1}{C_\psi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}W_a^bx(t)\psi_{a,b}(t)dadb 
  118.     
  119.    
  120.  x(t)=Cψ​1​∫0∞​∫−∞∞​Wab​x(t)ψa,b​(t)dadb

其中， 

  1.       ψ 
  2.      
  3.      
  4.      
  5.        a 
  6.       
  7.      
  8.        , 
  9.       
  10.      
  11.        b 
  12.       
  13.      
  14.     
  15.    
  16.      ( 
  17.     
  18.    
  19.      t 
  20.     
  21.    
  22.      ) 
  23.     
  24.    
  25.      = 
  26.     
  27.     
  28.     
  29.       1 
  30.      
  31.      
  32.      
  33.        a 
  34.       
  35.      
  36.     
  37.    
  38.      ψ 
  39.     
  40.     
  41.     
  42.       ( 
  43.      
  44.      
  45.       
  46.       
  47.         t 
  48.        
  49.       
  50.         − 
  51.        
  52.       
  53.         b 
  54.        
  55.       
  56.      
  57.        a 
  58.       
  59.      
  60.     
  61.       ) 
  62.      
  63.     
  64.    
  65.   
  66.     \psi_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right) 
  67.    
  68.   
  69. ψa,b​(t)=a​1​ψ(at−b​)， 
  70.  
  71.   
  72.    
  73.     
  74.     
  75.       C 
  76.      
  77.     
  78.       ψ 
  79.      
  80.     
  81.    
  82.   
  83.     C_\psi 
  84.    
  85.   
  86. Cψ​是小波函数的常数。**这个公式表示说，执行连续小波函数的逆运算，其实等价于小波函数与所得系数的连续卷积，即可以简要的表达为：**
  89.   
  90.    
  91.     
  92.     
  93.       x 
  94.      
  95.     
  96.       ( 
  97.      
  98.     
  99.       t 
  100.      
  101.     
  102.       ) 
  103.      
  104.     
  105.       = 
  106.      
  107.      
  108.      
  109.        ∫ 
  110.       
  111.       
  112.       
  113.         − 
  114.        
  115.       
  116.         ∞ 
  117.        
  118.       
  119.      
  120.        ∞ 
  121.       
  122.      
  123.     
  124.       W 
  125.      
  126.     
  127.       ( 
  128.      
  129.     
  130.       t 
  131.      
  132.     
  133.       − 
  134.      
  135.     
  136.       τ 
  137.      
  138.     
  139.       ) 
  140.      
  141.     
  142.       ∗ 
  143.      
  144.     
  145.       ψ 
  146.      
  147.     
  148.       ( 
  149.      
  150.     
  151.       τ 
  152.      
  153.     
  154.       ) 
  155.      
  156.     
  157.         
  158.      
  159.     
  160.       d 
  161.      
  162.     
  163.       τ 
  164.      
  165.     
  166.    
  167.      x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} W(t - \tau) * \psi (\tau) \ d\tau 
  168.     
  169.    
  170.  x(t)=∫−∞∞​W(t−τ)∗ψ(τ) dτ

这里的小波函数 

  1.      ψ 
  2.     
  3.    
  4.      ( 
  5.     
  6.    
  7.      τ 
  8.     
  9.    
  10.      ) 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     \psi(\tau) 
  15.    
  16.   
  17. ψ(τ)是一个满足正交条件的函数，即：
  20.   
  21.    
  22.     
  23.      
  24.      
  25.        ∫ 
  26.       
  27.       
  28.       
  29.         − 
  30.        
  31.       
  32.         ∞ 
  33.        
  34.       
  35.      
  36.        ∞ 
  37.       
  38.      
  39.     
  40.       ψ 
  41.      
  42.     
  43.       ( 
  44.      
  45.     
  46.       t 
  47.      
  48.     
  49.       ) 
  50.      
  51.     
  52.       ψ 
  53.      
  54.     
  55.       ( 
  56.      
  57.     
  58.       t 
  59.      
  60.     
  61.       − 
  62.      
  63.     
  64.       τ 
  65.      
  66.     
  67.       ) 
  68.      
  69.     
  70.       d 
  71.      
  72.     
  73.       t 
  74.      
  75.     
  76.       = 
  77.      
  78.     
  79.       δ 
  80.      
  81.     
  82.       ( 
  83.      
  84.     
  85.       τ 
  86.      
  87.     
  88.       ) 
  89.      
  90.     
  91.    
  92.      \int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\psi(t-\tau)dt=\delta(\tau) 
  93.     
  94.    
  95.  ∫−∞∞​ψ(t)ψ(t−τ)dt=δ(τ)

其中， 

  1.      δ 
  2.     
  3.    
  4.      ( 
  5.     
  6.    
  7.      τ 
  8.     
  9.    
  10.      ) 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     \delta(\tau) 
  15.    
  16.   
  17. δ(τ)是单位冲击函数。

所以，我们可以立即得到一个和上面相似的，但是更简单点的方法来描述这组公式，也就是小波的离散形式，即对于离散信号 

  1.      x 
  2.     
  3.    
  4.      [ 
  5.     
  6.    
  7.      n 
  8.     
  9.    
  10.      ] 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     x[n] 
  15.    
  16.   
  17. x[n]，其小波公式为：
  20.   
  21.    
  22.     
  23.      
  24.      
  25.        c 
  26.       
  27.      
  28.        i 
  29.       
  30.      
  31.     
  32.       [ 
  33.      
  34.     
  35.       n 
  36.      
  37.     
  38.       ] 
  39.      
  40.     
  41.       = 
  42.      
  43.      
  44.      
  45.        ∑ 
  46.       
  47.      
  48.        k 
  49.       
  50.      
  51.     
  52.       x 
  53.      
  54.     
  55.       [ 
  56.      
  57.     
  58.       k 
  59.      
  60.     
  61.       ] 
  62.      
  63.     
  64.       ∗ 
  65.      
  66.      
  67.      
  68.        h 
  69.       
  70.      
  71.        i 
  72.       
  73.      
  74.     
  75.       [ 
  76.      
  77.     
  78.       n 
  79.      
  80.     
  81.       − 
  82.      
  83.     
  84.       k 
  85.      
  86.     
  87.       ] 
  88.      
  89.     
  90.    
  91.      c_i[n] = \sum_{k} x[k] * h_{i}[n - k] 
  92.     
  93.    
  94.  ci​[n]=k∑​x[k]∗hi​[n−k]

其中 

  1.       c 
  2.      
  3.     
  4.       i 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.      [ 
  9.     
  10.    
  11.      n 
  12.     
  13.    
  14.      ] 
  15.     
  16.    
  17.   
  18.     c_i[n] 
  19.    
  20.   
  21. ci​[n] 为小波系数， 
  22.  
  23.   
  24.    
  25.     
  26.     
  27.       h 
  28.      
  29.     
  30.       i 
  31.      
  32.     
  33.    
  34.      [ 
  35.     
  36.    
  37.      n 
  38.     
  39.    
  40.      ] 
  41.     
  42.    
  43.   
  44.     h_i[n] 
  45.    
  46.   
  47. hi​[n] 为小波函数（Wavelet Function）， 
  48.  
  49.   
  50.    
  51.    
  52.      ∗ 
  53.     
  54.    
  55.   
  56.     * 
  57.    
  58.   
  59. ∗ 表示卷积运算。而相对的，如果我们获得了一组小波系数  
  60.  
  61.   
  62.    
  63.     
  64.     
  65.       c 
  66.      
  67.     
  68.       i 
  69.      
  70.     
  71.    
  72.      [ 
  73.     
  74.    
  75.      n 
  76.     
  77.    
  78.      ] 
  79.     
  80.    
  81.   
  82.     c_i[n] 
  83.    
  84.   
  85. ci​[n]，那么逆小波变换的公式为：
  88.   
  89.    
  90.     
  91.     
  92.       x 
  93.      
  94.     
  95.       [ 
  96.      
  97.     
  98.       n 
  99.      
  100.     
  101.       ] 
  102.      
  103.     
  104.       = 
  105.      
  106.      
  107.      
  108.        ∑ 
  109.       
  110.       
  111.       
  112.         i 
  113.        
  114.       
  115.         = 
  116.        
  117.       
  118.         1 
  119.        
  120.       
  121.      
  122.        N 
  123.       
  124.      
  125.      
  126.      
  127.        h 
  128.       
  129.      
  130.        i 
  131.       
  132.      
  133.     
  134.       [ 
  135.      
  136.     
  137.       n 
  138.      
  139.     
  140.       ] 
  141.      
  142.     
  143.       ∗ 
  144.      
  145.      
  146.      
  147.        c 
  148.       
  149.      
  150.        i 
  151.       
  152.      
  153.     
  154.       [ 
  155.      
  156.     
  157.       n 
  158.      
  159.     
  160.       ] 
  161.      
  162.     
  163.    
  164.      x[n] = \sum_{i=1}^{N} h_{i}[n] * c_{i}[n] 
  165.     
  166.    
  167.  x[n]=i=1∑N​hi​[n]∗ci​[n]

其中 

  1.       h 
  2.      
  3.     
  4.       i 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.      [ 
  9.     
  10.    
  11.      n 
  12.     
  13.    
  14.      ] 
  15.     
  16.    
  17.   
  18.     h_i[n] 
  19.    
  20.   
  21. hi​[n] 为小波函数（Wavelet Function）， 
  22.  
  23.   
  24.    
  25.    
  26.      ∗ 
  27.     
  28.    
  29.   
  30.     * 
  31.    
  32.   
  33. ∗ 表示卷积运算。

常见小波核函数

Haar 小波

Haar小波是最简单的小波，其公式为

  1.       h 
  2.      
  3.     
  4.       ( 
  5.      
  6.     
  7.       t 
  8.      
  9.     
  10.       ) 
  11.      
  12.     
  13.       = 
  14.      
  15.      
  16.      
  17.        { 
  18.       
  19.       
  20.        
  21.         
  22.          
  23.          
  24.            1 
  25.           
  26.          
  27.         
  28.         
  29.          
  30.           
  31.           
  32.             t 
  33.            
  34.           
  35.             ∈ 
  36.            
  37.           
  38.             [ 
  39.            
  40.           
  41.             0 
  42.            
  43.           
  44.             , 
  45.            
  46.            
  47.            
  48.              1 
  49.             
  50.            
  51.              2 
  52.             
  53.            
  54.           
  55.             ] 
  56.            
  57.           
  58.          
  59.         
  60.        
  61.        
  62.         
  63.          
  64.           
  65.           
  66.             − 
  67.            
  68.           
  69.             1 
  70.            
  71.           
  72.          
  73.         
  74.         
  75.          
  76.           
  77.           
  78.             t 
  79.            
  80.           
  81.             ∈ 
  82.            
  83.           
  84.             [ 
  85.            
  86.            
  87.            
  88.              1 
  89.             
  90.            
  91.              2 
  92.             
  93.            
  94.           
  95.             , 
  96.            
  97.           
  98.             1 
  99.            
  100.           
  101.             ] 
  102.            
  103.           
  104.          
  105.         
  106.        
  107.        
  108.         
  109.          
  110.          
  111.            0 
  112.           
  113.          
  114.         
  115.         
  116.          
  117.          
  118.            otherwise 
  119.           
  120.          
  121.         
  122.        
  123.       
  124.      
  125.     
  126.    
  127.      h(t) = \begin{cases} 1 & t \in [0, \frac{1}{2}] \\ -1 & t \in [\frac{1}{2}, 1] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} 
  128.     
  129.    
  130.  h(t)=⎩⎨⎧​1−10​t∈[0,21​]t∈[21​,1]otherwise​

Haar 小波是最简单的小波核函数，具有较低的计算复杂度。它可以用于简单的图像压缩和去噪。

Daubechies 小波

Daubechies 小波是一类常用的小波核函数，其中最常用的是 

  1.      D 
  2.     
  3.    
  4.      4 
  5.     
  6.    
  7.   
  8.     D4 
  9.    
  10.   
  11. D4 小波，公式为：
  14.   
  15.    
  16.     
  17.     
  18.       h 
  19.      
  20.     
  21.       ( 
  22.      
  23.     
  24.       t 
  25.      
  26.     
  27.       ) 
  28.      
  29.     
  30.       = 
  31.      
  32.      
  33.       
  34.       
  35.         1 
  36.        
  37.       
  38.         + 
  39.        
  40.        
  41.        
  42.          3 
  43.         
  44.        
  45.       
  46.      
  47.        4 
  48.       
  49.      
  50.     
  51.       ( 
  52.      
  53.     
  54.       1 
  55.      
  56.     
  57.       + 
  58.      
  59.     
  60.       t 
  61.      
  62.     
  63.       ) 
  64.      
  65.      
  66.      
  67.        e 
  68.       
  69.       
  70.       
  71.         − 
  72.        
  73.        
  74.        
  75.          t 
  76.         
  77.        
  78.          2 
  79.         
  80.        
  81.       
  82.      
  83.     
  84.       u 
  85.      
  86.     
  87.       ( 
  88.      
  89.     
  90.       t 
  91.      
  92.     
  93.       ) 
  94.      
  95.     
  96.       − 
  97.      
  98.      
  99.       
  100.       
  101.         1 
  102.        
  103.       
  104.         − 
  105.        
  106.        
  107.        
  108.          3 
  109.         
  110.        
  111.       
  112.      
  113.        4 
  114.       
  115.      
  116.     
  117.       ( 
  118.      
  119.     
  120.       1 
  121.      
  122.     
  123.       − 
  124.      
  125.     
  126.       t 
  127.      
  128.     
  129.       ) 
  130.      
  131.      
  132.      
  133.        e 
  134.       
  135.       
  136.       
  137.         − 
  138.        
  139.        
  140.        
  141.          t 
  142.         
  143.        
  144.          2 
  145.         
  146.        
  147.       
  148.      
  149.     
  150.       u 
  151.      
  152.     
  153.       ( 
  154.      
  155.     
  156.       − 
  157.      
  158.     
  159.       t 
  160.      
  161.     
  162.       ) 
  163.      
  164.     
  165.    
  166.      h(t) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} (1 + t) e^{-\frac{t}{2}} u(t) - \frac{1 - \sqrt{3}}{4} (1 - t) e^{-\frac{t}{2}} u(-t) 
  167.     
  168.    
  169.  h(t)=41+3​​(1+t)e−2t​u(t)−41−3​​(1−t)e−2t​u(−t)

其中 

  1.      u 
  2.     
  3.    
  4.      ( 
  5.     
  6.    
  7.      t 
  8.     
  9.    
  10.      ) 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     u(t) 
  15.    
  16.   
  17. u(t) 为单位函数。Daubechies 小波是一类常用的小波核函数，具有较好的时频分解性能。它常用于图像压缩、信号处理、医学图像处理等应用中。

Symlets 小波

Symlets 小波是一类常用的小波核函数，其中最常用的是 

  1.      S 
  2.     
  3.    
  4.      8 
  5.     
  6.    
  7.   
  8.     S8 
  9.    
  10.   
  11. S8 小波，公式为：
  14.   
  15.    
  16.     
  17.     
  18.       h 
  19.      
  20.     
  21.       ( 
  22.      
  23.     
  24.       t 
  25.      
  26.     
  27.       ) 
  28.      
  29.     
  30.       = 
  31.      
  32.     
  33.       − 
  34.      
  35.      
  36.      
  37.        1 
  38.       
  39.      
  40.        8 
  41.       
  42.      
  43.      
  44.      
  45.        t 
  46.       
  47.      
  48.        3 
  49.       
  50.      
  51.      
  52.      
  53.        e 
  54.       
  55.       
  56.       
  57.         − 
  58.        
  59.        
  60.        
  61.          t 
  62.         
  63.        
  64.          2 
  65.         
  66.        
  67.       
  68.      
  69.     
  70.       u 
  71.      
  72.     
  73.       ( 
  74.      
  75.     
  76.       t 
  77.      
  78.     
  79.       ) 
  80.      
  81.     
  82.       + 
  83.      
  84.      
  85.      
  86.        1 
  87.       
  88.      
  89.        4 
  90.       
  91.      
  92.     
  93.       t 
  94.      
  95.      
  96.      
  97.        e 
  98.       
  99.       
  100.       
  101.         − 
  102.        
  103.        
  104.        
  105.          t 
  106.         
  107.        
  108.          2 
  109.         
  110.        
  111.       
  112.      
  113.     
  114.       u 
  115.      
  116.     
  117.       ( 
  118.      
  119.     
  120.       − 
  121.      
  122.     
  123.       t 
  124.      
  125.     
  126.       ) 
  127.      
  128.     
  129.    
  130.      h(t) = -\frac{1}{8} t^3 e^{-\frac{t}{2}} u(t) + \frac{1}{4} t e^{-\frac{t}{2}} u(-t) 
  131.     
  132.    
  133.  h(t)=−81​t3e−2t​u(t)+41​te−2t​u(−t)

Symlets 小波是一类常用的小波核函数，具有较高的计算效率。它常用于图像压缩、信号处理、音频处理等应用中。

Coiflets 小波

Coiflets 小波是一类常用的小波核函数，其中最常用的是 

  1.      C 
  2.     
  3.    
  4.      6 
  5.     
  6.    
  7.   
  8.     C6 
  9.    
  10.   
  11. C6 小波，公式为：
  14.   
  15.    
  16.     
  17.     
  18.       h 
  19.      
  20.     
  21.       ( 
  22.      
  23.     
  24.       t 
  25.      
  26.     
  27.       ) 
  28.      
  29.     
  30.       = 
  31.      
  32.      
  33.       
  34.       
  35.         1 
  36.        
  37.       
  38.         + 
  39.        
  40.        
  41.        
  42.          6 
  43.         
  44.        
  45.       
  46.      
  47.        32 
  48.       
  49.      
  50.      
  51.      
  52.        t 
  53.       
  54.      
  55.        5 
  56.       
  57.      
  58.      
  59.      
  60.        e 
  61.       
  62.       
  63.       
  64.         − 
  65.        
  66.        
  67.        
  68.          t 
  69.         
  70.        
  71.          2 
  72.         
  73.        
  74.       
  75.      
  76.     
  77.       u 
  78.      
  79.     
  80.       ( 
  81.      
  82.     
  83.       t 
  84.      
  85.     
  86.       ) 
  87.      
  88.     
  89.       − 
  90.      
  91.      
  92.       
  93.       
  94.         1 
  95.        
  96.       
  97.         + 
  98.        
  99.        
  100.        
  101.          6 
  102.         
  103.        
  104.       
  105.      
  106.        8 
  107.       
  108.      
  109.      
  110.      
  111.        t 
  112.       
  113.      
  114.        3 
  115.       
  116.      
  117.      
  118.      
  119.        e 
  120.       
  121.       
  122.       
  123.         − 
  124.        
  125.        
  126.        
  127.          t 
  128.         
  129.        
  130.          2 
  131.         
  132.        
  133.       
  134.      
  135.     
  136.       u 
  137.      
  138.     
  139.       ( 
  140.      
  141.     
  142.       − 
  143.      
  144.     
  145.       t 
  146.      
  147.     
  148.       ) 
  149.      
  150.     
  151.       + 
  152.      
  153.      
  154.       
  155.       
  156.         1 
  157.        
  158.       
  159.         − 
  160.        
  161.        
  162.        
  163.          6 
  164.         
  165.        
  166.       
  167.      
  168.        32 
  169.       
  170.      
  171.     
  172.       t 
  173.      
  174.      
  175.      
  176.        e 
  177.       
  178.       
  179.       
  180.         − 
  181.        
  182.        
  183.        
  184.          t 
  185.         
  186.        
  187.          2 
  188.         
  189.        
  190.       
  191.      
  192.     
  193.       u 
  194.      
  195.     
  196.       ( 
  197.      
  198.     
  199.       t 
  200.      
  201.     
  202.       ) 
  203.      
  204.     
  205.    
  206.      h(t) = \frac{1 + \sqrt{6}}{32} t^5 e^{-\frac{t}{2}} u(t) - \frac{1 + \sqrt{6}}{8} t^3 e^{-\frac{t}{2}} u(-t) + \frac{1 - \sqrt{6}}{32} t e^{-\frac{t}{2}} u(t) 
  207.     
  208.    
  209.  h(t)=321+6​​t5e−2t​u(t)−81+6​​t3e−2t​u(−t)+321−6​​te−2t​u(t)

Coiflets 小波是一类常用的小波核函数，具有较高的时域精度和较低的频域精度。它常用于图像压缩、信号处理、医学图像处理等应用中。

Marr 小波

  1.       h 
  2.      
  3.     
  4.       ( 
  5.      
  6.     
  7.       t 
  8.      
  9.     
  10.       ) 
  11.      
  12.     
  13.       = 
  14.      
  15.      
  16.      
  17.        1 
  18.       
  19.       
  20.       
  21.         2 
  22.        
  23.       
  24.      
  25.      
  26.      
  27.        [ 
  28.       
  29.       
  30.       
  31.         1 
  32.        
  33.        
  34.        
  35.          2 
  36.         
  37.        
  38.       
  39.       
  40.       
  41.         e 
  42.        
  43.        
  44.        
  45.          − 
  46.         
  47.         
  48.         
  49.           t 
  50.          
  51.         
  52.           2 
  53.          
  54.         
  55.        
  56.       
  57.      
  58.        u 
  59.       
  60.      
  61.        ( 
  62.       
  63.      
  64.        t 
  65.       
  66.      
  67.        ) 
  68.       
  69.      
  70.        − 
  71.       
  72.       
  73.       
  74.         1 
  75.        
  76.        
  77.        
  78.          2 
  79.         
  80.        
  81.       
  82.       
  83.       
  84.         e 
  85.        
  86.        
  87.        
  88.          t 
  89.         
  90.        
  91.          2 
  92.         
  93.        
  94.       
  95.      
  96.        u 
  97.       
  98.      
  99.        ( 
  100.       
  101.      
  102.        − 
  103.       
  104.      
  105.        t 
  106.       
  107.      
  108.        ) 
  109.       
  110.      
  111.        ] 
  112.       
  113.      
  114.     
  115.    
  116.      h(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{t}{2}} u(t) - \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{t}{2}} u(-t) \right] 
  117.     
  118.    
  119.  h(t)=2​1​[2​1​e−2t​u(t)−2​1​e2t​u(−t)]

其中 

  1.      u 
  2.     
  3.    
  4.      ( 
  5.     
  6.    
  7.      t 
  8.     
  9.    
  10.      ) 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     u(t) 
  15.    
  16.   
  17. u(t) 为单位函数。Marr wavelet 具有窄带频率响应，可以对图像进行高通滤波。它在图像增强中常用于去除噪声或提取图像的纹理信息。

小波函数的关键特性

我们不能无脑的使用小波去进行信号或图像处理，所以必须对小波的重要特性做一定的了解。一般说来，小波具备如下关键特性：

  • 小波具有时频均衡的特性，即在时域和频域上的分解精度相似。
  • 小波具有多阶平移不变的特性，即平移小波函数的位置，可以得到完全相同的分解结果。
  • 小波具有稳定性的特性，即经过小波变换后的信号对于原信号的变化非常敏感。
  • 小波具有稀疏性的特性，即大多数信号在小波变换后的系数都非常小，只有很少的系数具有较大的值。

在下一章节中，我们将看看一些具体的应用，和如何人工实现一个小波用于信号处理的。

标签： 人工智能
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