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【开卷数据结构 】- 6 - 树与二叉树

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在之前的文章里,我们学习的一直是一对一的线性结构,可现实中,还有很多一对多的情况需要处理,所以我们需要研究这样一种一对多的数据结构 ——“树”

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🌺树

🍁树的定义


Q:什么是树

A:树是一种 非线性的数据结构,它是由 n ( n>=0 )个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。


Q:树有什么特点

  1. 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点。
  2. 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继。
  3. 树是递归定义的

对于树的定义还需要强调两点:

  • 当n>0时,根结点是唯一的,不可能存在多个根结点。数据结构中的树是只能有一个根结点。
  • 当m>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。像下图中的结构就不符合树的定义,因为它们都有相交的子树。

🍁树的名词解释

节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为3
叶节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:I,G,K,G,L,M节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:B、D、C、E、F等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为3
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m棵互不相交的树的集合称为森林

🌺树的表示

🍁树的存储结构


说到存储结构,自然就会想到我们前面讲过的顺序存储和链式存储两种结构。

顺序存储结构:树中某个结点的孩子可以有多个,若将树中所有结点存储到数组中,结点的存储位置无法直接反应其逻辑关系,因此:简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的

链式存储结构:链式存储结构的特点,完全可以实现对树的存储结构的表示。

表示方式:实际中树有很多种表示方式, 如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

💬代码演示

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

📖图像演示

🌺二叉树的概念及结构

🍁二叉树的概念


Q:什么是二叉树

A:二叉树是 n 个结点的有限集合。该集合或者为空集(空二叉树)或者由一个根结点和两棵互不相交的,分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。


Q:二叉树有什么特点

  1. 每个结点最多有两棵子树,二叉树不存在度大于2的结点。
  2. 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
  3. 即使树中某结点只有一棵子树,也要区分左子树还是右子树。---

Q:二叉树有什么基本形式

  1. 空二叉树
  2. 只有一个根节点
  3. 根节点只有左子树
  4. 根节点只有右子树
  5. 根节点既有左子树又有右子树

Q:特殊的二叉树有哪些

** (1)满二叉树:**在一颗二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k) -1 ,则它就是满二叉树。


** (2)完全二叉树:对于一颗具有 n 个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同,则称这棵二叉树为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 **

🍁二叉树的性质


性质一:在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1) 个结点。

性质二:深度为 k 的二叉树至多有2^(k)-1个结点。

性质三:对任何一棵二叉树, 如果度为0,其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2 + 1。

性质四:具有 n 个结点的完全二叉树的深度为log_{2}n-1

性质五:对于具有 n 个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号,则对于任意结点 i 有:

  1. 如果 i=1,则结点 i 是二叉树的根,无双亲;如果 i>1,则其双亲是结点 1/2
  2. 如果 2i>n,则结点 i无左孩子;否则其左孩子是结点2i
  3. 如果 2i<n,则结点 i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1

🍁二叉树的存储结构


🍀顺序存储结构

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树。因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。


🍀链式存储结构

二叉树每个结点最多有两个孩子,所以为它分配一个数据域和两个指针域是比较自然的想法,我们称这样的链表叫做二叉链表。结点结构如图:

💬代码演示

typedef int BTDataType;

struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft;       // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight;      // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data;                 // 当前节点值域
}

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