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1. AdaBoost 算法简介
Boosting是机器学习的三大框架之一，其特点是，训练过程中的诸多弱模型，彼此之间有着强依赖关系。Boost也被称为增强学习或提升法。典型的代表算法是AdaBoost算法。AdaBoost算法的核心思想是：将关注点放在预测错误的样本上。
AdaBoost 算法可以概括如下：
①假设共有m个样本数据，首先根据需求划分好训练集数据，按照一般思路，训练出第一个弱模型
G1(x)G_1(x)G1(x)。
②对第一个弱模型
G1(x)G_1(x)G1(x)，计算该弱模型的**分类错误率**（或者说带权错误率，但是因为第一次迭代训练是均等权重的，所以第一次迭代的带权错误率等于普通的分类错误率）。
通过计算的分类错误率来确定该弱模型的权重，并更新训练集数据的权值分布。
（这里涉及两个权重不要弄混，先是模型权重，再是样本数据权重）
记模型
G1(x)G_1(x)G1(x)的权重为α1\alpha_1α1，则F1(x)=0+α1G1(x)F_1(x)=0+\alpha_1G_1(x)F1(x)=0+α1G1(x)（因为是第一次迭代，所以上一次可以暂记为0）。
③开始第二次迭代，使用更新后的样本权重再次训练一个弱模型，然后将该弱模型与上一次训练的弱模型
G2(x)G_2(x)G2(x)，按照一定的规则得到的模型权重进行复合，F2(x)=F1(x)+α2G2(x)F_2(x)=F_1(x) + \alpha_2 G_2(x)F2(x)=F1(x)+α2G2(x)。
遂得到模型
F2(x)F_2(x)F2(x)。
这里的重点，就在于
α1，α2\alpha_1，\alpha_2α1，α2等，这些模型的权重的确定。
④循环以上过程n次(从第二次开始，每次计算的模型错误率，是带权错误率)。
（n的值是自己指定的，希望的迭代次数）。
直到得到模型
Fn(x)=Fn−1(x)+Gn(x)F_n(x)=F_{n-1}(x)+G_n(x)Fn(x)=Fn−1(x)+Gn(x)，即为AdaBoost算法的输出模型，此时的模型Fn(x)F_n(x)Fn(x)是一个强训练模型。
2. AdaBoost算法 逻辑详解
按照以上思路，下边开始针对其中涉及的细节进行详解。
2.1 数据
首先要面对的，是数据。假设样本数据集D中共有m个样本，并表示如下：
D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)}D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\}D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)}
其中
xix_ixi是特征向量，yiy_iyi是标签。标签的取值可以是1和-1。
AdaBoost算法每次训练模型的时候，使用的可以是从m个样本中抽样抽出的部分样本，但是预测的时候必须统一，测试集必须是固定的m个样本。
2.2 带权错误率
使用AdaBoost算法，每次训练完弱模型后，需要进一步计算出其带权错误率。
带权错误率的公式如下：
εj=∑i=1mωijI{fj(x)≠yi}\varepsilon_j=\sum_{i=1}^m \omega_{ij}I\{f_j(x)≠y_i\}εj=∑i=1mωijI{fj(x)=yi}
如何理解这个式子：其中
I()I()I()是指示函数，即，当括号内条件满足时值为1，当不满足条件时值为0。
这里括号内的条件，即表示对某样本的分类不正确。可以看出，预测错误的样本越多，该值则越大。
ωij\omega_{ij}ωij即第j次迭代中的第i个样本的权重。
在第一次迭代中第一次训练弱模型时，每个样本的初始权重是均等的，均为
1m\frac{1}{m}m1。
即每个样本被选中的概率是均等的。AdaBoost算法首先基于该均等的权重训练一个简单的弱学习器。
且因为均等权重，在第一次迭代的输出的弱分类器的带权错误率，是刚好等于预测错误的个数在m个样本中所占的比重的。（即带权错误率等于普通的分类错误率）。
2.3 损失函数 与 确定样本权重
AdaBoost算法的损失函数为指数损失。
以第k次迭代为例，第k次迭代将得到模型
Fk(x)=Fk−1(x)+αkG(x)F_k(x)=F_{k-1}(x)+\alpha_kG(x)Fk(x)=Fk−1(x)+αkG(x)，则Fk(x)F_k(x)Fk(x)的损失函数函数为：Loss=∑i=1me−yiFk(xi)Loss=\sum_{i=1}^me^{-y_iF_k(x_i)}Loss=∑i=1me−yiFk(xi)
经简单分析，可以看出，对于每个样本
若预测正确，则指数为负，损失只增加
1e\frac{1}{e}e1；
若预测错误，则损失函数的损失会增加e。
将该损失函数进行进一步展开得:
Loss=∑i=1me−yiFk(xi)Loss=\sum_{i=1}^me^{-y_iF_k(x_i)}Loss=∑i=1me−yiFk(xi)=∑i=1me−yi(Fk−1(xi)+αkG(xi))=\sum_{i=1}^{m}e^{-y_i(F_{k-1}(x_i)+\alpha_kG(x_i))}=∑i=1me−yi(Fk−1(xi)+αkG(xi))=∑i=1me−yiFk−1(xi)e−yiαkGk(xi)=\sum_{i=1}^me^{-y_iF_{k-1}(x_i)}e^{-y_i\alpha_kG_k(x_i)}=∑i=1me−yiFk−1(xi)e−yiαkGk(xi)
因为
LossLossLoss，即该表达式整体，表示的是模型Fk(x)F_k(x)Fk(x)的损失，e−yiαkGk(xi)e^{-y_i\alpha_kG_k(x_i)}e−yiαkGk(xi)表示的则是第kkk次迭代中，新训练弱模型，样本和模型都加权后的损失。e−yiFk−1(xi)e^{-y_iF_{k-1}(x_i)}e−yiFk−1(xi)表示的则是第k−1k-1k−1次迭代中得到的模型Fk−1F_{k-1}Fk−1的损失。
鉴于AdaBoost算法是利用上一个弱分类器
Fk−1F_{k-1}Fk−1的准确率(或者说错误率) 和 模型权重来调整数据，以获得下一个分类器。继续观察该表达式，可以清晰地发现，模型FkF_kFk的损失，等于模型GkG_kGk乘以模型权重αk\alpha_kαk后，并经过 以模型Fk−1F_{k-1}Fk−1损失为度量尺度的样本权重的调节，后的损失。所以式子中的e−yiFk−1(xi)e^{-y_iF_{k-1}(x_i)}e−yiFk−1(xi)即可以理解为样本权重ωk,i\omega_{k,i}ωk,i。
对于每一个样本，如果在上次迭代结果的模型
Fk−1F_{k-1}Fk−1中预测正确，则在第k次迭代中给予较小的样本权重；如果在上次迭代结果的模型Fk−1F_{k-1}Fk−1中预测错误，则在第k次迭代的预测中给予较大的样本权重，这使得其在第k次迭代中预测的结果将拥有更大的话语权。如果再次预测错误将带来更大的损失。ωk,i=e−yiFk−1(xi)\omega_{k,i}=e^{-y_iF_{k-1}(x_i)}ωk,i=e−yiFk−1(xi)这样的表示还尚不完美，因为要将其作为权重，就还需要进行归一化处理才好。
进一步将
Fk−1F_{k-1}Fk−1再展开可得到每次迭代的样本权重，与上次迭代样本权重之间的关系，并做归一化处理得：ωk,i=ωk−1,i⋅e−yiαk−1Gk−1(xi)Zt\omega_{k,i}=\frac{\omega_{k-1,i}· e^{-y_i\alpha_{k-1}G_{k-1}(x_i)}}{Z_t}ωk,i=Ztωk−1,i⋅e−yiαk−1Gk−1(xi)
其中
ZtZ_tZt是归一化因子。这里的Zt=ek−1(1−ek−1)Z_t=\sqrt{e_{k-1}(1-e_{k-1})}Zt=ek−1(1−ek−1)，其中ek−1e_{k-1}ek−1是第k-1次迭代分类的带权错误率。
可以看到该表达式中还有模型权重
αk−1\alpha_{k-1}αk−1需要进一步确定。
2.3 确定模型权重
模型权重的确定这一环节，涉及了较为麻烦的推导。这里只讨论逻辑，具体推导过程不再细究。
以第k次迭代为例，第k次迭代将得到模型
Fk(x)=Fk−1(x)+αkG(x)F_k(x)=F_{k-1}(x)+\alpha_kG(x)Fk(x)=Fk−1(x)+αkG(x)，我们需要确定的是αk\alpha_kαk的值。
以使得AdaBoost算法的损失函数Loss最小为目标，经过一系列麻烦的推导，最终得到
αk=12log1−ekek\alpha_k=\frac{1}{2}\log{\frac{1-e_k}{e_k}}αk=21logek1−ek
根据该表达式不难看出，分类误差率越大，则对应的弱分类器权重系数也就越小。
___
2.4 输出模型
最终模型的表达式如下所示：
Fn(x)=sign(∑k=1mαkGk(x))F_n(x)=sign(\sum_{k=1}^m\alpha_kG_k(x))Fn(x)=sign(∑k=1mαkGk(x))
这里使用了符号函数sign，即若值大于0则表示标签1，小于0则表示标签-1。
3.AdaBoost算法的python实现
首先生成两组高斯分布的数据，用于模型训练和效果展示。
import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltfrom sklearn.datasets import make_gaussian_quantiles# 符合高斯分布，均值默认为0，方差为2，200个样本，2个特征，标签有2类，打乱x1,y1 = make_gaussian_quantiles(cov=2,n_samples=200,n_features=2,n_classes=2,shuffle=True,random_state=1)# 满足高斯分布，两个特征，均值都为3，方差为1.5,300个样本数据，标签也有两个类别，打乱x2,y2 = make_gaussian_quantiles(mean=(3,3),cov=1.5,n_samples=300,n_features=2,n_classes=2,shuffle=True,random_state=1)# 水平拼接：x1, x2X = np.vstack((x1,x2))# 垂直拼接：标签值y = np.hstack((y1,y2))
得到了有500个样本的数据集，该数据集有两个特征，标签取值有两种。特征数据为X，标签数据为y。
做数据可视化展示如下：
# 可视化plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y)plt.show()
数据分布图像如下图所示：
然后训练模型：
# 基础模型 使用决策树分类器作为基础模型from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier# 导入集成模型AdaBoostClassifierfrom sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier# 实例化弱模型 设置最大深度为2weak_classifier = DecisionTreeClassifier(max_depth=2)# 集成模型 每次训练随机抽取300个样本，学习率为0.8clf = AdaBoostClassifier(base_estimator=weak_classifier,algorithm="SAMME",n_estimators=300,learning_rate=0.8)clf.fit(X,y)
为了更直观地展示模型在每个点处的效果，接下来我们绘制等高线图来呈现模型效果。
首先找出两个特征x1和x2的最小值和最大值，然后在原来的基础上分别减一、加一，来构建网格化数据。
x1_min = X[:,0].min()-1x1_max = X[:,0].max()+1x2_min = X[:,1].min()-1x2_max = X[:,1].max()+1x1_new,x2_new = np.meshgrid(np.arange(x1_min,x1_max),np.arange(x2_min,x2_max))
做预测：
y_t = clf.predict(np.c_[x1_new.ravel(),x2_new.ravel()])
模型预测结果如下：
绘制等高线图，并填充色彩：
y_t = y_t.reshape(x1_new.shape)plt.contourf(x1_new,x2_new,y_t)plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y)plt.show()
输出图像效果如下：
如果对等高线图的绘制存在疑问，欢迎点击博客进行学习：实现 等高线图 - 基于python-matplotlib
本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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