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紧接上回：【动手深度学习-笔记】注意力机制（三）多头注意力
自注意力（Self-Attention）
在注意力机制下，我们将词元序列输入注意力汇聚中，以便同一组词元同时充当查询、键和值。 具体来说，每个查询都会关注所有的键－值对并生成一个注意力输出。
像这样的，查询、键和值来自同一组输入的注意力机制，被称为自注意力（self-attention）或者内部注意力（intra-attention）。
给定一个由词元组成的输入序列
x
1
,
…
,
x
n
，
x
i
∈
R
d
\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n，\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^d
x1,…,xn，xi∈Rd，该序列的自注意力输出为一个长度相同的序列
y
1
,
…
,
y
n
\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_n
y1,…,yn，其中：
y
i
=
f
(
x
i
,
(
x
1
,
x
1
)
,
…
,
(
x
n
,
x
n
)
)
∈
R
d
\mathbf{y}_i = f(\mathbf{x}_i, (\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_1), \ldots, (\mathbf{x}_n, \mathbf{x}_n)) \in \mathbb{R}^d
yi=f(xi,(x1,x1),…,(xn,xn))∈Rd
f
f
f是注意力汇聚函数，
f
f
f的第一个输入参数
x
i
\mathbf{x}_i
xi作为query，剩下的参数为
x
\mathbf{x}
x自己和自己组成的键值对。
例子
给出李宏毅老师课上的例子，看看自注意力是怎么工作的。
首先是将词元序列同时作为
Q
、
K
、
V
\boldsymbol{Q}、\boldsymbol{K}、\boldsymbol{V}
Q、K、V的输入。这里的输入词元序列是
I
=
[
a
1
,
…
,
a
4
]
，
a
i
∈
R
d
\mathbf{I}=[\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_4]，\mathbf{a}_i \in \mathbb{R}^d
I=[a1,…,a4]，ai∈Rd，
I
\mathbf{I}
I分别和三个矩阵
W
q
、
W
k
、
W
v
\boldsymbol{W}^{q}、\boldsymbol{W}^{k}、\boldsymbol{W}^{v}
Wq、Wk、Wv相乘得到
Q
、
K
、
V
\boldsymbol{Q}、\boldsymbol{K}、\boldsymbol{V}
Q、K、V，这里的
W
q
、
W
k
、
W
v
\boldsymbol{W}^{q}、\boldsymbol{W}^{k}、\boldsymbol{W}^{v}
Wq、Wk、Wv是可学习的参数。
然后这个例子使用了点积注意力评分，对于
Q
\boldsymbol{Q}
Q中的每一个分量
q
i
\bold{q}_i
qi，把它和
K
\boldsymbol{K}
K中所有的
k
i
\bold{k}_i
ki相乘，得到注意力权重向量
α
i
\bold{\alpha}_i
αi（图中的灰色部分）：
把所有的
q
i
\bold{q}_i
qi得到的权重向量拼起来再通过softmax，得到的就是权重矩阵：
最后将权重矩阵与
V
\bold{V}
V相乘，得到最终的输出序列
O
\bold{O}
O，它的形状和输入序列
I
\bold{I}
I一致：
总结一下，自注意力就是一系列如下的矩阵运算过程，只有
W
q
、
W
k
、
W
v
\boldsymbol{W}^{q}、\boldsymbol{W}^{k}、\boldsymbol{W}^{v}
Wq、Wk、Wv是要学习的参数：
Self-Attention vs Convolution
我们比较一下自注意力和卷积这两个架构。
卷积具有固定的感受野（receptive field），感受野的大小通常是人为设计的，对于每个像素，考虑的是感受野范围的信息，学习的是过滤器。
而自注意力可以获取到全局的信息，然后经过学习，模型可以自己判断对于每个像素的query，需要考虑到哪些像素的key、多大范围内的key，它同时学习过滤器和感受野的形状。
可以说，卷积是自注意力机制的特例，自注意力是卷积的一般化形式。
有一篇论文专门从数学角度严格分析了卷积和自注意力的关系
On the Relationship between Self-Attention and Convolutional Layers
有兴趣的可以看看，我这里引用一下论文结论中的一句话：
More generally, fully-attentional models seem to learn a generalization of CNNs where the kernel pattern is learned at the same time as the filters—similar to deformable convolutions.
更一般地说，完全注意力模型似乎学习了CNN的一般化，其中内核模式与过滤器同时学习——类似于可变形卷积
Self-Attention vs RNN
再比较一下自注意力和循环神经网络RNN这两个架构。
RNN的输入输出和自注意力很类似，都是输入一个序列输出一个序列。
RNN的特点在于，对于一个输入序列的某个词元，它只考虑该词元之前输入的词元信息（这里指最一般的单向RNN，双向RNN也是可以考虑双向信息的），且如果是一个很长的序列，那么开头的词元信息就很难保留到末尾的词元；
自注意力可以获取到全局的信息，而且对于一个词元，它和任意位置的词元的关联计算都是一样的，不会有长序列信息丢失的问题。
在运算方面，由于RNN的结构限制，每一个词元输出的计算是不能并行执行的，必须要先等之前输入的词元完成计算；
自注意力，我们上面讲过了，可以很好地表示成矩阵运算的形式，使得各个词元输出的计算可以同时进行。
交叉注意力（Cross Attention）
对于交叉注意，键和值相同但与查询不同，从而引入了它们的相互依赖关系。
位置编码（Position Encoding，PE）
在自注意力机制中，词向量是不带位置信息的，也就是说，将词的顺序打乱，得到的输出是一样的。
所以需要给词向量添加位置信息，表示其顺序关系。
Transformer使用了三角位置编码：
P
E
(
p
o
s
,
2
i
)
=
sin
(
p
o
s
/
1000
0
2
i
/
d
model
)
P
E
(
p
o
s
,
2
i
+
1
)
=
cos
(
p
o
s
/
1000
0
2
i
/
d
model
)
\begin{aligned} P E_{(p o s, 2 i)} &=\sin \left(p o s / 10000^{2 i / d_{\text {model }}}\right) \\ P E_{(p o s, 2 i+1)} &=\cos \left(p o s / 10000^{2 i / d_{\text {model }}}\right) \end{aligned}
PE(pos,2i)PE(pos,2i+1)=sin(pos/100002i/dmodel )=cos(pos/100002i/dmodel )
其中
p
o
s
pos
pos是词向量在序列中的位置，
i
i
i表示的是词向量内的第
i
i
i个分量，
d
m
o
d
e
l
d_{model}
dmodel是词向量的长度。
由上式可知，词向量的偶数维用
sin
\sin
sin编码，奇数维用
cos
\cos
cos编码，**这样编码的原因是基于三角函数的和差化积性质**：
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
\begin{aligned} \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
这样一来，这表明位置
α
+
β
α+β
α+β的向量可以表示成位置
α
α
α和位置
β
β
β的向量组合，这提供了表达相对位置信息的可能性
比如
p
o
s
=
10
pos=10
pos=10可以和
p
o
s
=
1
,
p
o
s
=
9
pos=1, pos=9
pos=1,pos=9处的词向量建立联系，或者
p
o
s
=
2
,
p
o
s
=
8
pos=2,pos=8
pos=2,pos=8等。
视觉中的二维位置编码
DETR中，为了保留特征的空间信息，没有将二维数据平铺为一维，而是分别对行和列进行位置编码。
参考
10.6. 自注意力和位置编码 — 动手学深度学习 2.0.0-beta1 documentation
位置编码公式详细理解补充_bilibili
让研究人员绞尽脑汁的Transformer位置编码 - 科学空间|Scientific Spaces (kexue.fm)
Jean-Baptiste Cordonnier et al. “On the Relationship between Self-Attention and Convolutional Layers…” Learning (2019): n. pag.
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