时间复杂度计算超全整理！！（数据结构和算法的第一步

1. 什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的 数据元素的集合。

1.1 数据结构和数据库的区别

数据结构和数据库本质都是在管理数据，只是在不同的地方管理。

数据量很大的时候适合在磁盘当中管理，要用数据库。

数据相对小没有那么多，在运行内存中管理，就用数据结构。

数据结构：在内存中管理数据 —> 增删查改

数据库：在磁盘中管理数据 —> 增删查改

1.1.1磁盘的特点

磁盘可以不带电存储，内存不能。

举个例子：

写了一个文件，文件没有保存，这个时候文件储存在内存当中。

如果ctrl+s一下，就会把文件保存到磁盘里面去。

2.什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为 输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法是针对这些数据进行处理。

简单的算法，排序。冒泡排序，快速排序

查找： 二分查找，暴力查找

数据结构和算法的关系，相辅相成。

3.算法效率

3.1 如何衡量一个算法的好坏

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

插播一个摩尔定律：

“摩尔定律是英特尔创始人之一戈登·摩尔的经验之谈，其核心内容为：集成电路上可以容纳的晶体管数目在大约每经过18个月便会增加一倍。摩尔定律是内行人摩尔的经验之谈，汉译名为“定律”，但并非自然科学定律，它一定程度揭示了信息技术进步的速度。”

4.时间复杂度

4.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

请注意：时间复杂度不是在算它的执行时间，因为执行时间是没有标准的，这个和我们的硬件设备和机器环境有关系。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

举一个例子：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;        //这里count++执行N*N次
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;        //这里count++执行2*N次
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;        //这里count++执行M次
}

//所以++count总共执行  N^2+2*N+M 次

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。

4.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

O()括号里面的数更多的表达的是这个算法的量级，大O是一个估算，并不是准确的执行次数。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

举一个例子：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)           
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;        //2*N
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;        //10
 }
 printf("%d\n", count);
}

//2*N+10
//当N趋于无限大的时候，10和2对于整体的效果影响不大，所以舍去得到N
//注意N和2*N+10是一个量级的
//
//所以Fun2的算法复杂度为   O(N)=N

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

举个例子：

在一个长度为N数组中搜索一个数据x

*最好情况：1次找到 *

*最坏情况：N次找到 *

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以以最坏情况的时间复杂度为准。

4.3常见时间复杂度计算举例

4.3.1.计算两个循环分别对应两个变量有关的的时间复杂度

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

答案参考如下：

4.3. 2. 计算只与常量数字有关的的时间复杂度

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

答案参考如下：

4.3.3. 计算strchr的时间复杂度

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

答案参考如下：

4.3.4计算冒泡排序BubbleSort的时间复杂度

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

答案参考如下：

4.3.5 计算二分法BinarySearch的时间复杂度

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

答案参考如下：

4.3.6计算阶乘递归的时间复杂度

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    if (0 == N)
        return 1;

    return Fac(N - 1) * N;
}

答案参考如下：

4.3.7 计算斐波那契数列的时间复杂度

因为这块内容较长，将单独列出。链接明天补^-^

斐波那契数列的时间复杂度为O(2^N)。

你好我是媛仔，希望这篇内容对你有所帮助！！今天现写到这里了，因为要帮忙哄小孩所以今天好累好累好累……