复习--范数
范数
范数和赋范矢量空间的认识
范数是一个具有“长度”概念的函数。在线性代数、范函分析及相关的数学领域里，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。
范数赋范矢量空间的数学定义
f
∈
S
若存在唯一实数
∥
⋅
∥
f \in S 若存在唯一实数 \lVert \cdot \rVert
f∈S若存在唯一实数∥⋅∥满足
- 正定性： f ≥ 0 , 当且仅当 f = 0 ， ∥ f ∥ = 0 f \geq 0 ,当且仅当 f = 0， \lVert f \rVert = 0 f≥0,当且仅当f=0，∥f∥=0
- 其次性： ∀ a ∈ R ， ∥ a f ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ f ∥ \forall a \in R ，\lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert ∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
- 三角不等式： ∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ + ∥ g ∥ ， f , g ∈ S \lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert + \lVert g \rVert ， f,g \in S ∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥，f,g∈S 则称 ∥ ⋅ ∥ ，是线性空间 S 上的范数，线性空间 S 则称为赋范线性空间。 则称\lVert \cdot \rVert，是线性空间 S 上的范数，线性空间 S 则称为赋范线性空间。 则称∥⋅∥，是线性空间S上的范数，线性空间S则称为赋范线性空间。
向量范数的数学定义
R
n
空间的向量范数
∥
⋅
∥
指的是一个
R
n
→
R
的函数，对任意的
x
,
y
∈
R
n
满足下列条件
R^n 空间的向量范数 \lVert \cdot \rVert 指的是一个 R^n \to R 的函数，对任意的 x, y \in R^n 满足下列条件
Rn空间的向量范数∥⋅∥指的是一个Rn→R的函数，对任意的x,y∈Rn满足下列条件
∥ x ∥ ≥ 0 , ∥ x ∥ = 0 当且仅当 x = 0 （正定性） \lVert x \rVert \geq 0, \lVert x \rVert = 0 当且仅当 x = 0（正定性） ∥x∥≥0,∥x∥=0当且仅当x=0（正定性）∥ a x ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ x ∥ ， ∀ a ∈ R （其次性） \lVert a x \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert x \rVert，\forall a \in R （其次性） ∥ax∥=∣a∣⋅∥x∥，∀a∈R（其次性）∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ （三角不等式） \lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert （三角不等式） ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥（三角不等式）
集中常见的向量范数
向量的 ∞ − 范数： ∥ x ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ 向量的\infty-范数：\lVert x \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{1 \leq i \leq n}{\lvert x_i \rvert} 向量的∞−范数：∥x∥∞=1≤i≤nmax∣xi∣向量的 1 − 范数： ∥ x ∥ i = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 向量的1- 范数：\lVert x \rVert_i = \sum_{i=1}^{n}{\lvert x_i \rvert} 向量的1−范数：∥x∥i=i=1∑n∣xi∣向量的 2 − 范数： ∥ x ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n x 2 ) 1 2 向量的2- 范数：\lVert x \rVert_2 = (\sum_{i=1}^{n}{x^2})^{\frac{1}{2}} 向量的2−范数：∥x∥2=(i=1∑nx2)21向量的 p − 范数： ∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x ∣ p ) 1 p 向量的p- 范数：\lVert x \rVert_p = (\sum_{i=1}^{n}{\lvert x \rvert^p})^{\frac{1}{p}} 向量的p−范数：∥x∥p=(i=1∑n∣x∣p)p1
矩阵范数的数学定义
如果矩阵
A
∈
R
m
×
n
的某个非负的实值函数
∥
⋅
∥
满足：
如果矩阵 A \in R^{m \times n} 的某个非负的实值函数\lVert \cdot \rVert 满足：
如果矩阵A∈Rm×n的某个非负的实值函数∥⋅∥满足：
- 正定性： ∥ A ∥ ≥ 0 , ∥ A ∥ = 0 但且仅当 A = O \lVert A \rVert \geq 0, \lVert A \rVert = 0但且仅当 A = O ∥A∥≥0,∥A∥=0但且仅当A=O
- 其次性： ∥ a A ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ A ∥ ，对任意的 a ∈ R \lVert a A \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert A \rVert，对任意的a \in R ∥aA∥=∣a∣⋅∥A∥，对任意的a∈R
- 三角不等式： ∥ A + B ∥ ≤ ∥ A ∥ + ∥ B ∥ \lVert A + B \rVert \leq \lVert A \rVert + \lVert B \rVert ∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥
- 相容性： ∥ A B ∥ ≤ ∥ A ∥ ∥ B ∥ \lVert A B \rVert \leq \lVert A \rVert \lVert B \rVert ∥AB∥≤∥A∥∥B∥ 则称 ∥ ⋅ ∥ 是一个矩阵范数 则称\lVert \cdot \rVert 是一个矩阵范数 则称∥⋅∥是一个矩阵范数
函数范数的数学定义
在连续函数空间
C
[
a
,
b
]
中范数的定义为：
在连续函数空间C[a, b]中范数的定义为：
在连续函数空间C[a,b]中范数的定义为：
在函数空间
C
[
a
,
b
]
中，
f
∈
C
[
a
,
b
]
，若存在唯一实数
∥
⋅
∥
满足：
在函数空间C[a, b] 中， f \in C[a, b]，若存在唯一实数\lVert \cdot \rVert 满足：
在函数空间C[a,b]中，f∈C[a,b]，若存在唯一实数∥⋅∥满足：
- 正定性： ∥ f ∥ ≥ 0 ，当且仅当 f = 0 时， ∥ f ∥ = 0 \lVert f \rVert \geq 0，当且仅当 f = 0时，\lVert f \rVert = 0 ∥f∥≥0，当且仅当f=0时，∥f∥=0
- 其次性： ∀ a ∈ R ， ∥ a f ∥ = ∣ a ∣ ⋅ ∥ f ∥ \forall a \in R， \lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert ∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
- 三角不等式： ∥ f + g ∥ ≤ ∥ f ∥ ⋅ ∥ g ∥ ， f , g ∈ C [ a , b ] \lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert \cdot \lVert g \rVert，f,g \in C[a, b] ∥f+g∥≤∥f∥⋅∥g∥，f,g∈C[a,b]
常见的函数范数：
函数的 ∞ − 范数： ∥ f ∥ ∞ = max a < x < b ∣ f ( x ) ∣ 函数的\infty - 范数：\lVert f \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{a < x <b}{\lvert f(x) \rvert} 函数的∞−范数：∥f∥∞=a<x<bmax∣f(x)∣函数的 1 − 范数： ∥ f ∥ 1 = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x 函数的1 - 范数： \lVert f \rVert_1 = \int_{a}^{b}{\lvert f(x) \rvert \,{\rm d}x} 函数的1−范数：∥f∥1=∫ab∣f(x)∣dx函数的 2 − 范数： ∥ f ∥ 2 = ∣ ∫ a b f 2 ( x ) d x ∣ 1 2 函数的2 - 范数：\lVert f \rVert_2 = \lvert \int_{a}^{b}{ f^2(x) \,{\rm d}x} \rvert^{\frac{1}{2}} 函数的2−范数：∥f∥2=∣∫abf2(x)dx∣21
例子：
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版权归原作者 csdn_start 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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