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树(Tree)和二叉树

1.树的定义

树是一种非线性的数据结构,它表现的关系是****一对多

它是由n(n>=0)个结点组成的有限集,当n = 0时,称为空树。

在任意一棵非空树中应满足:

1.有且仅有一个特殊的根节点,根节点没有前驱结点

2.每一个非根结点有且只有一个父结点;

** 除了根结点外,每个子结点可以分为多个不相交的子树,并且子树是不相交的**

3.树是递归定义的

4.一颗N个结点的树有N-1条边


2.一些树的关键词定义

结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度

树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度

树的深度:一棵树中节点的最大深度就是树的深度,也称为高度

父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点
子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
节点的层次:从根节点开始,根节点为第一层,根的子节点为第二层,以此类推
兄弟节点:拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点
叶子节点:度为零的节点就是叶子节点
祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;
子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林:m颗互不相交的树构成的集合就是森林


3.树的存储结构

(1)双亲表示法(2)孩子表示法(3)孩子兄弟表示法

(1)双亲表示法

在每个节点中,有一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置,

使其每个结点,不但知道自己是谁,而且知道双亲位置

(2)孩子表示法

将每个结点的孩子结点排序,以单链表存储,则n个结点有n个孩子链表

并且如果是叶子结点,这个单链表为空

然后将每个单链表的头指针组成一个线性表,顺序存储放入数组中

(3)孩子兄弟表示法

任意一棵树, 它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的,它的右兄弟如果存在也是唯一的。 因此,我们设置两个指针,分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

这样也就把这个树变成了二叉树


4.二叉树的定义

二叉树是结点的一个有限集合,该集合为空,或者是由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成。

需要注意的是

(1)每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。
(2)二叉树是有序树有左右之分,其子树的次序不能颠倒。


5.满二叉树和完全二叉树

(1)满二叉树

如果二叉树中除了叶子结点,每个结点的度都为 2,则此二叉树称为满二叉树。

特点

  1. 满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1 个。
  2. 深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点 ,叶子数为 2k-1。
  3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点,每一个分支点中都两棵深度相同的子树,且叶子节点都在最底层。
  4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。

(2)完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树,且最后一层的结点依次从左到右分布,则此二叉树被称为完全二叉树。

满二叉树是一种特殊的完全二叉树

n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1。



6.二叉树的性质

(1)在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

(2)深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)

可以看上面的图,深度为4,一共有2^4 -1= 15个结点

(3)对于任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

(4)具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1(其中x表示不大于n的最大整数)

(5)如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2n]+1)的结点按层序编号(从 层到[log2n]+1层,每层从左到右),对任一结点i(1<=i<=n):
如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲,如果i>1,则其双亲结点是结点[i/2]
如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)否则左孩子是结点2i。
如果2i+1>n,则结点i无右孩子,否则其右孩子是结点2i+1.

下面看几个练习题

**1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( A ) **

**A n **

**B n+1 **

**C n-1 **

D n/2

一共有2n个结点 也就是偶数个结点,那么一定存在一个度为1的结点

所以就有 2n = n0+n2+1 n0 = n2+1

所以就有 2n = n0+n0-1+1 --->n = n0

**2. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( B ) **

**A 不存在这样的二叉树 **

**B 200 **

**C 198 **

**D 199 **

** n2 = 199 n0=n2+1=200**

**3.一棵完全二叉树的节点数为531个,那么这棵树的高度为( B ) **

**A 11 **

**B 10 **

**C 8 **

**D 12 **

** k=log2 531 +1 取10**

**4.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为( B ) **

**A 383 **

**B 384 **

**C 385 **

D 386

767个结点 是奇数,那么度为1的结点没有

** 所以就是 767 = n0+n2 n0 = n2+1**

所以就有767 = n0+n0-1 n0 = 384


7.二叉树的存储方式

二叉树的存储方式有 顺序存储和****类似于链表的链式存储

二叉树的类似于链式存储是,一个一个节点引用起来的,这两种具体结构前面树已经提过了

(1)孩子表示法

class Node { 
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树 
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树 
}

(2)孩子双亲表示法

class Node { 
int val; // 数据域 
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树 
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树 
Node parent; // 当前节点的根节点 
}

8.二叉树的基本操作

8.1 二叉树的4种遍历方式

用代码将上面的这个二叉树结构穷举一遍

    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }
    //二叉数的根节点
    public TreeNode root;

    public void createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        this.root = A;
    }

(1)前序遍历****(根-->左-->右)

先访问一棵树的根节点,再访问左子树,最后访问右子树。

上面的遍历次序就是 A -> B -> D -> E -> H -> C -> F -> G

    void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

(2)中序遍历(左-->根-->右)

先访问一棵树的左子树,再访问根节点,最后访问右子树。

上面的遍历次序就是 D -> B -> E -> H -> A -> F -> C -> G

 void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

(3)后序遍历(左-->右-->根)

先访问一棵树的左子树,再访问右子树,最后访问根节点。

**上面的遍历次序就是 D -> H -> E -> B -> F -> G -> C -> A **

 void postOrde(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrde(root.left);
        postOrde(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

(4)层序遍历

先访问第一层的根结点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着访问第三层的结点。


8.2 二叉树的基本操作

(1)获取树中结点的个数size()

两种思路

子问题:先遍历左边的树,再遍历右边的树,不为null就++

遍历递归思路:只要不为null就给sizeNode++

    //1.子问题思路
     int size(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0;
        return size(root.left) + size(root.right) + 1;
    }
    //2.遍历递归思路
    public static int sizeNode;
    void size2(TreeNode root){
        if(root == null) return;
        sizeNode++;
        size2(root.left);
        size2(root.right);
    }

(2)获取叶子结点的个数getLeafNodeCount()

还是两种思路

子问题:左树的叶子+右树的叶子 = 整棵树的叶子

遍历递归思路:遍历到叶子就++

判断是不是叶子的条件是root.left == null && root.right == nul

 //1.子问题
    int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root == null) return 0;

        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
    //2.遍历递归
    public static int leafSize;
    void getLeafNodeCount2(TreeNode root){
        if(root == null) return ;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount2(root.left);
        getLeafNodeCount2(root.right);
    }

(3)获取第K层结点的个数getKLevelNodeCount()

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if(root == null) return 0;
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

*(4)获取二叉树的高度getHeight()*

二叉树的高度--》左树高度和右树高度最大值+1

    int getHeight(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0;
        int leftHight = getHeight(root.left);
        int rightHight = getHeight(root.right);
        return (leftHight > rightHight ?
                leftHight + 1 :
                rightHight + 1);
    }

**时间复杂度O(N) **

(5)检测值为value的元素是否存在fifind()

先看根是不是要找到元素,如果不是在左子树找,还不是就右子树找

 TreeNode find(TreeNode root, int val) {
        if(root == null) return null;
        if(root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret1 = find(root.left,val);
        if (ret1 != null) {
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2 = find(root.right,val);
        if (ret2 != null) {
            return ret2;
        }
        return null;
    }

(6)层序遍历levelOrder()

    void levelOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        //现将根节点放进队列中
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            //只要子树的左右节点不为null就给队列里面放
            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
        System.out.println();
    }

(7)判断一颗树是不是完全二叉树isCompleteTree()

在判断一颗树是不是完全二叉树前,先要明白,给队列中放元素放null

此时这个队列不为null

    boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();

            if (cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.peek();
            if (cur != null) {
                return false;
            }else {
                queue.poll();
            }
        }
        return true;
    }

标签: java 数据结构

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