【数据结构与算法】时间复杂度和空间复杂度

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时间复杂度和空间复杂度的认知

🌎 一. 如何衡量一个算法的好坏

1. 时间上：根据时间复杂度
2. 执行的占用空间上：空间复杂度

🌙 二. 算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。

时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度

🪐 三. 时间复杂度

⚡️3.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

🌪3.2 大O的渐进表示法

如下文代码：

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？voidfunc1(int N){int count =0;for(int i =0; i < N ; i++){for(int j =0; j < N ; j++){
            count++;//执行的基本操作次数是N*N次}}for(int k =0; k <2* N ; k++){
        count++;//执行的基本操作次数是 2 * N}int M =10;while((M--)>0){
        count++;//执行的基本操作次数是10}
    System.out.println(count);}

Func1 执行的基本操作次数 ：F(N) = N^2 + N*2 + 10
当N = 10时 F(N) = 130
当N = 100时 F(N) = 10210
当N = 1000时 F(N) = 1002010
…
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

🌈3.3 推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)
当N = 10时 F(N) = 100
当N = 100时 F(N) = 10000
当N = 1000时 F(N) = 1000000
…
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

⛅️3.4 常见时间复杂度计算举例

例一：for循环加while循环自增

// 计算func2的时间复杂度？voidfunc2(int N){int count =0;for(int k =0; k <2* N ; k++){
        count++;}int M =10;while((M--)>0){
        count++;}
    System.out.println(count);}

在for循环里执行的基本操作次数为2N，在while循环里执行了10次，根据我们的推导大O阶方法可得最后的时间复杂度为：O(N)

例二：for循环分开自增两次

// 计算func3的时间复杂度？voidfunc3(int N,int M){int count =0;for(int k =0; k < M; k++){
        count++;}for(int k =0; k < N ; k++){
        count++;}
    System.out.println(count);}

在第一个for循环里执行的基本操作次数为M，在第二个for循环里执行的基本操作次数为N，根据我们的推导大O阶方法可得最后的时间复杂度为：O(M+N)

例三：for循环自增一次

// 计算func4的时间复杂度？voidfunc4(int N){int count =0;for(int k =0; k <100; k++){
        count++;}
    System.out.println(count);}

根据我们的推导大O阶方法可得时间复杂度为：O(1)，当然，如果在for循环里不是明确的数字，而是N的话，那么时间复杂度就为：O(N)。N是一个统称：问题的规模

例四：冒泡排序

// 计算bubbleSort的时间复杂度？voidbubbleSort(int[] array){for(int end = array.length; end >0; end--){boolean sorted =true;for(int i =1; i < end; i++){if(array[i -1]> array[i]){Swap(array, i -1, i);
                sorted =false;}}if(sorted ==true){break;}}}

最坏情况：第一个大的for循环里执行的基本操作次数为N，在第二个for循环里执行的基本操作次数为N-1，所以合起来就是N*(N-1) = N^2 - N，根据我们的推导大O阶方法可得时间复杂度为：O(N^2)
最好情况：由于在这里我们实现冒泡排序的时候，可能数组就已经是一个有序数组了，所以第一趟执行之后直接break了，此时时间复杂度为：O(N)

假设这个代码没有进行任何的优化，那么它的时间复杂度必然是O(N^2)

例五：二分查找

// 计算binarySearch的时间复杂度？intbinarySearch(int[] array,int value){int begin =0;int end = array.length -1;while(begin <= end){int mid = begin +((end-begin)/2);if(array[mid]< value)
            begin = mid +1;elseif(array[mid]> value)
            end = mid -1;elsereturn mid;}return-1;}

最坏情况：二分查找最坏的情况就是要找的数据在最左边或者最右边，此处就不详讲二分查找了，二分查找的规律直接罗列出来：2^(找代码的次数 - 1) = 数据个数。所以我们可以得出找代码的次数 = log以2为底的n次方 + 1，根据我们的推导大O阶方法可得时间复杂度为log以2为底的n次方：O(logn) – >此处默认为以2为底

例六：阶乘计算

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？longfactorial(int N){return N <2? N :factorial(N-1)* N;}

递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归之后执行的次数，这里递归的次数为N，递归后执行的次数为1次，所以此处的时间复杂度为：O(N)

例七：斐波那契数列

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？intfibonacci(int N){return N <2? N :fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);}

递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归之后执行的次数

如图我们可以看到递归的次数是2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + …+2^(n - 1) 是一个等比数列，所以我们算得递归的次数为2，所以最终根据递归时间复杂度公式和推导大O阶方法可得最后的时间复杂度为：O(2^N)。

拓展：
常见的一些时间复杂度：O(N)   O(N^2)   O(logn)   O(1)   O(Nlogn)

按照由快到慢的排序：O(1)   O(logn)   O(N)   O(Nlogn)   O(N^2)

⭐️ 四.空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

例一：冒泡排序

// 计算bubbleSort的空间复杂度？voidbubbleSort(int[] array){for(int end = array.length; end >0; end--){boolean sorted =true;for(int i =1; i < end; i++){if(array[i -1]> array[i]){Swap(array, i -1, i);
                sorted =false;}}if(sorted ==true){break;}}}

其中在bubbleSort函数中只传了一个array数组，所以空间复杂度为：O(1)

例二：斐波那契第N项

// 计算fibonacci的空间复杂度？long[]fibonacci(int n){long[] fibArray =newlong[n +1];
    fibArray[0]=0;
    fibArray[1]=1;for(int i =2; i <= n ; i++){
        fibArray[i]= fibArray[i -1]+ fibArray [i -2];}return fibArray;}

数组存的是前N项，在函数里也求第N项的空间复杂度，所以空间复杂度为：O(N)

例三：阶乘

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？longfactorial(int N){return N <2? N :factorial(N-1)*N;}

递归N次，要开辟N个空间，所以空间复杂度为：O(N)