目标
在仿真理论中，生成随机变量是最重要的“构建块”之一，而这些随机变量大多是由均匀分布的随机变量生成的。其中一种可以用来产生随机变量的方法是逆变换法。在本文中，我将向您展示如何使用Python中的逆变换方法生成随机变量(包括离散和连续的情况)。
概念
给定随机变量U，其中U在（0,1）中均匀分布。假设我们要生成随机变量X，其中累积分布函数（CDF）为
逆变换方法的思想是通过如下使用其逆CDF从任何概率分布中生成一个随机数。
对于离散随机变量，步骤略有不同。假设我们想生成一个离散随机变量X的值，它具有一个概率质量函数(PMF)
为了生成X的值，需要生成一个随机变量U，U在（0,1）中均匀分布，并且定义
通过以上步骤，我们可以按如下方法创建逆变换方法的算法。
连续随机数代码实现
首先，我们实现此方法以生成连续随机变量。假设我们要模拟一个随机变量X，该变量遵循均值λ（即X〜EXP（λ））的指数分布。我们知道指数分布的概率分布函数（PDF）是
CDF如下
然后，我们可以使用以下的方法写出逆CDF
在Python中，我们可以通过如下编写这些代码行来简单地实现它。
### Generate exponential distributed random variables given the mean
### and number of random variables
def exponential_inverse_trans(n=1,mean=1):
U=uniform.rvs(size=n)
X=-mean*np.log(1-U)
actual=expon.rvs(size=n,scale=mean)
plt.figure(figsize=(12,9))
plt.hist(X, bins=50, alpha=0.5, label="Generated r.v.")
plt.hist(actual, bins=50, alpha=0.5, label="Actual r.v.")
plt.title("Generated vs Actual %i Exponential Random Variables" %n)
plt.legend()
plt.show()
return X
我们可以通过运行以下示例来尝试上面的代码。请注意，由于我们要生成随机变量，因此结果可能会有所不同。
cont_example1=exponential_inverse_trans(n=100,mean=4)
cont_example2=exponential_inverse_trans(n=500,mean=4)
cont_example3=exponential_inverse_trans(n=1000,mean=4)
看起来很有趣。如果将其与实际变量进行比较，我们可以看到生成的随机变量具有非常相似的结果。可以调整均值（请注意，我为expon.rvs（）函数定义的均值是指数分布中的比例参数）和/或 生成的随机变量的数量，以查看不同的结果。
离散随机数实现代码
对于离散随机变量情况，假设我们要模拟遵循以下分布的离散随机变量情况X
首先，我们编写函数以使用这些代码行为一个样本生成离散随机变量。
### Generate arbitary discrete distributed random variables given
### the probability vector
def discrete_inverse_trans(prob_vec):
U=uniform.rvs(size=1)
if U<=prob_vec[0]:
return 1
else:
for i in range(1,len(prob_vec)+1):
if sum(prob_vec[0:i])<U and sum(prob_vec[0:i+1])>U:
return i+1
然后，我们创建一个函数以使用这些代码行生成许多随机变量样本。
def discrete_samples(prob_vec,n=1):
sample=[]
for i in range(0,n):
sample.append(discrete_inverse_trans(prob_vec))
return np.array(sample)
最后，我们创建一个函数来模拟结果，并通过这些代码行将其与实际结果进行比较。
def discrete_simulate(prob_vec,numbers,n=1):
sample_disc=discrete_samples(prob_vec,n)
unique, counts=np.unique(sample_disc,return_counts=True)
fig=plt.figure()
ax=fig.add_axes([0,0,1,1])
prob=counts/n
ax.bar(numbers,prob)
ax.set_title("Simulation of Generating %i Discrete Random Variables" %n)
plt.show()
data={'X':unique,'Number of samples':counts,'Empirical Probability':prob,'Actual Probability':prob_vec}
df=pd.DataFrame(data=data)
return df
我们可以在下面运行一些示例以查看结果。同样，请注意，由于我们要生成随机变量，因此结果可能会有所不同。
prob_vec=np.array([0.1,0.3,0.5,0.05,0.05])
numbers=np.array([1,2,3,4,5])
dis_example1=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=100)
dis_example2=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=500)
dis_example3=discrete_simulate(prob_vec, numbers, n=1000)
In[11]: dis_example1
Out[11]:
X Number of samples Empirical Probability Actual Probability
0 1 8 0.08 0.10
1 2 35 0.35 0.30
2 3 50 0.50 0.50
3 4 5 0.05 0.05
4 5 2 0.02 0.05In[12]: dis_example2
Out[12]:
X Number of samples Empirical Probability Actual Probability
0 1 53 0.106 0.10
1 2 159 0.318 0.30
2 3 234 0.468 0.50
3 4 30 0.060 0.05
4 5 24 0.048 0.05In[13]: dis_example3
Out[13]:
X Number of samples Empirical Probability Actual Probability
0 1 108 0.108 0.10
1 2 290 0.290 0.30
2 3 491 0.491 0.50
3 4 51 0.051 0.05
4 5 60 0.060 0.05
结果很有趣！我们可以看到，随着我们增加随机变量样本的数量，经验概率越来越接近实际概率。尝试使用不同数量的样本和/或不同的分布进行实验，以查看不同的结果。
总结
这种逆变换方法是统计中非常重要的工具，尤其是在仿真理论中，在给定随机变量均匀分布在（0,1）中的情况下，我们想生成随机变量。研究案例本身非常广泛，您可以使用在生成经验累积分布函数，预测分析中使用到的这种方法。
作者:Raden Aurelius Andhika Viadinugroho
deephub翻译组