目录标题
0.本系列目的
理解与运用LQR
理解
六个问题
解释什么是LQR，并梳理LQR求解过程。
大家可以思考这么几个问题：
- LQR控制的是什么（什么是LQR）?
- LQR的适用场景是（使用条件）？
- LQR的变量是什么，输入是什么，输出是什么？
- LQR是怎么解决这些问题的？
- LQR中有没有为了优化问题设置的假设条件？
- 在实际控制中，怎么改变状态变量的初值，如果我想让LQR控制器控制的某个状态变量存在稳态误差，该怎么设置参数？
- 可能需要一点自控理论知识，不过对聪明人来说，学过矩阵乘法就行^ ^
如果看不懂就看下面的参考文章，保证好懂
本文部分片段搬运自以下文章，并根据学校课件和个人理解进行修改，侵删！
(个人感觉最好✨→) 线性二次型调节器(LQR)原理详解
https://blog.csdn.net/qq_36133747/article/details/123413115
LQR最优控制方法小结
https://zhuanlan.zhihu.com/p/363033191
RoboMaster平衡步兵机器人控制系统设计
https://zhuanlan.zhihu.com/p/563048952
运用
一阶倒立摆
matlab+simscape multibody实现
- 对一阶倒立摆模型进行建模，设计LQR参数
- 在
matlab上，实现模型的框图设计 - 通过
simscape multibody将这一过程可视化
见下一期LQR的理解与运用 第二期——一阶倒立摆在matlab上的LQR实现
简单的轮足模型（二阶倒立摆）
参考RoboMaster平衡步兵机器人控制系统设计
构造以下模型
1 理解LQR
写在前面
本文讨论LQR基本原理时，被控对象都是线性定常系统，即系统状态不随时间变化的系统。状态空间表达如下：
x
˙
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
(1)
\begin{array}{l} \dot{x}=A x+B u \\ y=C x+D u \end{array}\tag{1}
x˙=Ax+Buy=Cx+Du(1)
符号意义
A
A
A状态转移矩阵，描述了系统状态的演化规律。
B
B
B输入矩阵，描述了外部输入对系统状态的影响。
C
C
C输出矩阵，描述了状态变量如何映射到输出信号。
D
D
D直接传递矩阵，描述了外部输入直接传递到输出信号的影响。
x
x
x状态变量，系统的内部状态，可以描述系统的动态特性。
u
u
u输入变量，系统的外部输入，可以是一个或者多个变量。
Q
Q
Q控制效果矩阵，表示控制器对状态变量的重视程度。
R
R
R状态效果矩阵，表示控制器对控制输入的重视程度。
Q1:LQR控制的是什么
结论：LQR控制的是线性时不变系统的状态变量
x
x
x的变化。
具体而言，LQR通过对系统状态变量的反馈控制，使系统状态向着期望的状态稳定，并且能够实现一定的性能指标要求，如响应速度、稳态误差等。
我们设定一个线性反馈控制器
u
=
−
K
x
u=-K x
u=−Kx,用以得到**输入参数**
u
{u}
u 与**状态变量**
x
{x}
x的关系（求解矩阵
K
K
K的方法会在后面提到），此时第一行可以写为
x
˙
=
A
x
−
B
K
x
=
(
A
−
B
K
)
⏟
A
c
l
x
(2)
\dot{x}=A x-B K x=\underbrace{(A-B K)}_{A_{c l}} x\tag{2}
x˙=Ax−BKx=Acl(A−BK)x(2)
让系统稳定的条件是矩阵
A
c
l
A_{cl}
Acl 的特征值的实部均为负数（？），我们当然可以**手动选择**几个满足上述条件的特征值，然后反解
K
K
K，从而得到控制器。
而LQR的出现，就是为了让几个参数的选择更为合理，从而使得控制器控制效果更好。其实现方式正是通过设计代价函数
J
J
J实现的。
本文讨论无限时间的LQR问题（有限时间的LQR问题属于状态时变的问题，这里暂时不考虑），无限时间的LQR问题设计的成本代价泛函
J
J
J为：
J
=
∫
0
∞
(
x
T
Q
x
+
u
T
R
u
)
d
t
,
Q
=
Q
T
,
R
=
R
T
,
Q
≥
0
,
R
>
0
(3)
J=\int_{0}^{\infty}\left(x^{T} Q x+u^{T} R u\right) d t, Q=Q^{T}, R=R^{T}, Q \geq 0, R>0\tag{3}
J=∫0∞(xTQx+uTRu)dt,Q=QT,R=RT,Q≥0,R>0(3)
一般来说，Q阵和R阵为对角阵，分别确定了状态变量
x
x
x和输入参数
u
u
u的权重。对角阵上的值越大说明我们设计时对于该量的重视程度越大，即希望这个量在变化过程中保持较小的值，换种说法就是对于该量的“惩罚”越大。我们的设计目标就是得到一系列的控制序列使代价累积的最小。
代价函数的解释，举例：
图片内容及部分文字来自线性二次型调节器(LQR)原理详解
**因此，问题转变为了选择合适的反馈矩阵
K
K
K使得代价函数
J
J
J最小。**(见Q3)
Q2:LQR的适用场景与形式
- LQR是一个多输入，多输出（MIMO）的调节器(仅适用于线性系统)；其目的是在给定代价为二次的代价方程中找出最小代价。
- 在多个输入参数中，可分别设置不同权重。 此外，由于LQR为状态方程形式，因此输入参数为
n*1的形式，而权重矩阵（下文 Q , R Q,R Q,R）往往是n*n的对角矩阵，即除了主对角线均为0；故为了表现加权、二次、多输入，代价函数往往为以下形式：( x x x, u u u的位置见上文状态空间表达形式) J = x T ( t ) Q x ( t ) + u T ( t ) R u ( t ) J = x^{T}(t) Q x(t)+u^{T}(t) R u(t) J=xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)
Q3:LQR的变量、输入、输出
- 变量：状态变量 x x x和输入变量 u u u，作用在前面表格中已列出。
- 输入：在LQR设计中，我们需要选择合适的状态反馈矩阵K，使得反馈控制器能够有效地控制系统状态的变化，并实现期望的性能指标。 在状态方程
Q4:LQR的解决思路
接Q1，下一步是选择合适的反馈矩阵
K
K
K使得代价函数
J
J
J最小。
根据式
(
3
)
(3)
(3),我们另定义一个辅助常量矩阵
P
P
P，
d
d
t
x
T
P
x
=
−
(
x
T
Q
x
+
u
T
R
u
)
(4)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x^{T} P x=-\left(x^{T} Q x+u^{T} R u\right)\tag{4}
dtdxTPx=−(xTQx+uTRu)(4)
(?)
P
P
P是对称矩阵，
P
=
P
T
>
0
P=P^T>0
P=PT>0
- ** P P P的作用** 将 ( 4 ) (4) (4)带入 ( 3 ) (3) (3)有 J = − ∫ 0 ∞ d d t x T P x d t = − ( x T P x ∣ ∞ − x T P x ∣ 0 ) = − ( 0 − x T P x ∣ 0 ) = x T ( 0 ) P x ( 0 ) (5) \begin{aligned} J & =-\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x^{T} P x \mathrm{~d} t \ & =-\left(\left.x^{T} P x\right|{\infty}-\left.x^{T} P x\right|{0}\right) \ & =-\left(0-\left.x^{T} P x\right|_{0}\right) \ & =x^{T}(0) P x(0) \end{aligned}\tag{5} J=−∫0∞dtdxTPx dt=−(xTPx∞−xTPx0)=−(0−xTPx0)=xT(0)Px(0)(5)> 当系统稳定时，> > > > > t> > > ⟶> > > ∞> > > ,> > > x> > > ⟶> > > 0> > > > t \longrightarrow \infty , x \longrightarrow 0> > > t⟶∞,x⟶0可见代价函数只跟初始状态和矩阵 P P P有关
带入
u
=
K
x
u = Kx
u=Kx,结合式
(
2
)
(2)
(2)、
(
4
)
(4)
(4)，有
x
˙
T
P
x
+
x
T
P
x
˙
+
x
T
Q
x
+
x
T
K
T
R
K
x
=
0
x
T
A
c
l
T
P
x
+
x
T
P
A
c
l
x
+
x
T
Q
x
+
x
T
K
T
R
K
x
=
0
x
T
(
A
c
l
T
P
+
P
A
c
l
+
Q
+
K
T
R
K
)
x
=
0
(6)
\begin{aligned} \dot{x}^{T} P x+x^{T} P \dot{x}+x^{T} Q x+x^{T} K^{T} R K x & =0 \\ x^{T} A_{c l}^{T} P x+x^{T} P A_{c l} x+x^{T} Q x+x^{T} K^{T} R K x & =0 \\ x^{T}\left(A_{c l}^{T} P+P A_{c l}+Q+K^{T} R K\right) x & =0 \end{aligned}\tag{6}
x˙TPx+xTPx˙+xTQx+xTKTRKxxTAclTPx+xTPAclx+xTQx+xTKTRKxxT(AclTP+PAcl+Q+KTRK)x=0=0=0(6)
代入
A
c
l
=
A
−
B
K
A_{c l}=A-B K
Acl=A−BK 可以得到
A
c
l
T
P
+
P
A
c
l
+
Q
+
K
T
R
K
=
0
(
A
−
B
K
)
T
P
+
P
(
A
−
B
K
)
+
Q
+
K
T
R
K
=
0
A
T
P
+
P
A
+
Q
+
K
T
R
K
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
=
0
(7)
\begin{aligned} A_{c l}^{T} P+P A_{c l}+Q+K^{T} R K & =0 \\ (A-B K)^{T} P+P(A-B K)+Q+K^{T} R K & =0 \\ A^{T} P+P A+Q+K^{T} R K-K^{T} B^{T} P-P B K & =0 \end{aligned}\tag{7}
AclTP+PAcl+Q+KTRK(A−BK)TP+P(A−BK)+Q+KTRKATP+PA+Q+KTRK−KTBTP−PBK=0=0=0(7)
将
K
=
R
−
1
B
T
P
K=R^{-1}B^TP
K=R−1BTP（暂不推导，见**Q4**）代入，有
A
T
P
+
P
A
+
Q
+
(
R
−
1
B
T
P
)
T
R
(
R
−
1
B
T
P
)
−
(
R
−
1
B
T
P
)
T
B
T
P
−
P
B
(
R
−
1
B
T
P
)
=
0
A
T
P
+
P
A
+
Q
−
P
B
R
−
1
B
T
P
=
0
(8)
\begin{array}{l} A^{T} P+P A+Q+\left(R^{-1} B^{T} P\right)^{T} R\left(R^{-1} B^{T} P\right)-\left(R^{-1} B^{T} P\right)^{T} B^{T} P-P B\left(R^{-1} B^{T} P\right)=0 \\\\ A^{T} P+P A+Q-P B R^{-1} B^{T} P=0 \end{array}\tag{8}
ATP+PA+Q+(R−1BTP)TR(R−1BTP)−(R−1BTP)TBTP−PB(R−1BTP)=0ATP+PA+Q−PBR−1BTP=0(8)
上式也被称为微分Riccati方程(Algebraic Riccati Equation ，ARE)
到这一步就可以认为
P P P是solvable的了，现在已经有很完善的方法能求解ARE了
Q4.1 LQR控制器设计步骤：
步骤一：根据我们想要的期望状态，初步设计好
Q
Q
Q，
R
R
R（一般凭借经验，可以通过迭代不断调整）
步骤二：根据
代数Riccati方程
（由系统矩阵组成的等式），情况下求解矩阵P用的是数值解法，很少的情况可以求其解析解。
步骤三：根据
P
P
P，得到反馈矩阵
K
K
K的表达式，得到最优控制序列：
Q5:LQR中做出的…假设？
K
=
R
−
1
B
T
P
K=R^{-1} B^{T} P
K=R−1BTP并不是假设，而是推导的结果，过程如下
反馈矩阵K的推导*
如果只是应用LQR方法，那么推导过程可以不用细看，记住下面的表达式就可以，现在用matlab或是python中的一些库就可以直接求解，应用时理解K的含义就可以。
推导过程应用到矩阵求导相关公式，推荐一个在线矩阵求导网站：Matrix Calculus，可以用来验证自己算的对不对。
推导过程：
观察式
(
7
)
(7)
(7)，
A
,
B
,
Q
,
R
,
P
A,B,Q,R,P
A,B,Q,R,P都是常值矩阵，唯一可变的是
K
K
K阵，所以问题转换为找到一个
K
K
K使得代价函数最小，下面用到了一些构造，主要关注带
K
K
K的部分，求解的想法是要将
K
K
K包含在一个满足一定约束的式子里面或许可以得到
K
K
K的计算表达式，一种思路是如果我们可以把含有
K
K
K的部分转换成类似
(
M
+
N
)
T
(
M
+
N
)
(M+N)^T(M+N)
(M+N)T(M+N) 的结构，那么要使得代价最小，就会有
M
+
N
=
0
M + N = 0
M+N=0 ，那么
K
K
K就可以求。
令
R
=
T
T
T
R=T^TT
R=TTT，代入式
(
7
)
(7)
(7)，有
A
T
P
+
P
A
+
Q
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
+
K
T
T
T
T
K
=
0
A
T
P
+
P
A
+
Q
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
+
(
T
K
)
T
T
K
=
0
(9)
A^{T} P+P A+Q-K^{T} B^{T} P-P B K+K^{T} T^{T} T K=0\\\\ A^{T} P+P A+Q-K^{T} B^{T} P-P B K+(T K)^{T} T K=0\tag{9}
ATP+PA+Q−KTBTP−PBK+KTTTTK=0ATP+PA+Q−KTBTP−PBK+(TK)TTK=0(9)
为向
(
M
+
N
)
T
(
M
+
N
)
(M+N)^{T}(M+N)
(M+N)T(M+N)$ 上面靠，将目标形式展开:
M
T
M
+
N
T
N
+
M
T
N
+
N
T
M
M^{T} M+N^{T} N+M^{T} N+N^{T} M
MTM+NTN+MTN+NTM ，令
M
=
T
K
M=T K
M=TK ，刚好可以满足上面其中一项，剩下的用待定系数，带进去解
N
N
N的表达式:
M
T
M
+
N
T
N
+
M
T
N
+
N
T
M
=
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
+
(
T
K
)
T
T
K
,
M
=
T
K
⇒
N
T
N
+
K
T
T
T
N
+
N
T
T
K
=
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
(10)
M^{T} M+N^{T} N+M^{T} N+N^{T} M=-K^{T} B^{T} P-P B K+(T K)^{T} T K, M=T K\\\\ \Rightarrow N^{T} N+K^{T} T^{T} N+N^{T} T K=-K^{T} B^{T} P-P B K\tag{10}
MTM+NTN+MTN+NTM=−KTBTP−PBK+(TK)TTK,M=TK⇒NTN+KTTTN+NTTK=−KTBTP−PBK(10)
注意
( 10 ) (10) (10)左右并不一定相等，只是为了**让等式右凑出等式左的样子**
继续观察，等式两边都有含
K
T
K^T
KT项和含
K
K
K 项 ，先用含
K
K
K 项拼凑出
N
N
N:
N
T
T
K
=
−
P
B
K
⇒
N
=
[
−
P
B
(
T
−
1
)
]
T
⇒
N
=
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
T
=
N
=
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
(11)
\begin{array}{l} N^{T} T K=-P B K \Rightarrow N=\left[-P B\left(T^{-1}\right)\right]^{T} \Rightarrow N=-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P^{T}=N= \\ -\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P \end{array}\tag{11}
NTTK=−PBK⇒N=[−PB(T−1)]T⇒N=−(T−1)TBTPT=N=−(T−1)TBTP(11)
将
N
N
N 代入，求剩下的部分:
N
T
N
+
K
T
T
T
N
+
N
T
T
K
=
−
K
T
B
T
P
−
P
B
K
,
N
=
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
(12)
N^{T} N+K^{T} T^{T} N+N^{T} T K=-K^{T} B^{T} P-P B K, \quad N=-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\tag{12}
NTN+KTTTN+NTTK=−KTBTP−PBK,N=−(T−1)TBTP(12)
发现含
K
T
K^T
KT 项也消掉了，仅剩下不含
K
K
K 的第一项:
N
T
N
=
[
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
T
[
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
=
P
B
R
−
1
B
T
P
(13)
N^{T} N=\left[\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]^{T}\left[\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]=P B R^{-1} B^{T} P\tag{13}
NTN=[(T−1)TBTP]T[(T−1)TBTP]=PBR−1BTP(13)
带到代数Riccati方程中有:
A
T
P
+
P
A
+
Q
+
[
T
K
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
T
[
T
K
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
−
P
B
R
−
1
B
T
P
=
0
(14)
A^{T} P+P A+Q+\left[T K-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]^{T}\left[T K-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]-P B R^{-1} B^{T} P=0\tag{14}
ATP+PA+Q+[TK−(T−1)TBTP]T[TK−(T−1)TBTP]−PBR−1BTP=0(14)
因为:
x
T
[
T
K
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
T
[
T
K
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
]
x
≥
0
(15)
x^T\left[T K-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]^{T}\left[T K-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P\right]x \ge 0\tag{15}
xT[TK−(T−1)TBTP]T[TK−(T−1)TBTP]x≥0(15)
令
T
K
−
(
T
−
1
)
T
B
T
P
=
0
T K-\left(T^{-1}\right)^{T} B^{T} P = 0
TK−(T−1)TBTP=0，可以解出
K
=
R
−
1
B
T
P
K=R^{-1} B^{T} P
K=R−1BTP
怎么理解u=-Kx
u
=
−
K
x
u=-Kx
u=−Kx是将输入向量
u
u
u用状态变量
x
x
x的线性表达，不妨把这理解为LQR的特征，或者说LQR这一形式就意味着这一假设
稳定性分析
想要分析系统的稳定性，一般采用李雅普诺夫稳定性理论来证明。
首先，定义李雅普诺夫函数：
V
(
x
)
=
x
T
P
x
,
P
=
P
T
P
>
0
(16)
V(x)=x^{T} P x, P=P^{T} P>0\tag{16}
V(x)=xTPx,P=PTP>0(16)
P
P
P为正定常数矩阵，所以
V
(
x
)
V(x)
V(x) 是 正定的。(?)
然后，对
V
(
x
)
V(x)
V(x) 求
x
x
x 的一阶导数：
V
˙
(
x
)
=
x
˙
T
P
x
+
x
T
P
x
˙
(17)
\dot{V}(x)=\dot{x}^{T} P x+x^{T} P \dot{x}\tag{17}
V˙(x)=x˙TPx+xTPx˙(17)
将
x
˙
=
A
x
+
B
u
,
u
=
−
K
x
=
−
R
−
1
B
T
P
x
\dot{x}=A x+B u, u=-K x=-R^{-1} B^{T} P x
x˙=Ax+Bu,u=−Kx=−R−1BTPx 带入上式，得到：
V
˙
(
x
)
=
x
T
[
A
T
P
−
K
T
B
T
P
+
P
A
−
P
B
K
]
x
(18)
\dot{V}(x)=x^{T}\left[A^{T} P-K^{T} B^{T} P+P A-P B K\right] x\tag{18}
V˙(x)=xT[ATP−KTBTP+PA−PBK]x(18)
再代入
K
K
K，得到:
V
˙
(
x
)
=
x
T
[
A
T
P
+
P
A
−
2
P
B
R
−
1
B
T
P
]
x
(19)
\dot{V}(x)=x^{T}\left[A^{T} P+P A-2 P B R^{-1} B^{T} P\right] x\tag{19}
V˙(x)=xT[ATP+PA−2PBR−1BTP]x(19)
因为通过无限时间LQR设计的
P
P
P 会满足上面的代数Riccati方程
(
8
)
(8)
(8)，带进来，得到:
V
˙
(
x
)
=
−
x
T
[
Q
+
P
B
R
−
1
B
T
P
]
x
(20)
\dot{V}(x)=-x^{T}\left[Q+P B R^{-1} B^{T} P\right] x\tag{20}
V˙(x)=−xT[Q+PBR−1BTP]x(20)
因为:
Q
>
0
,
R
>
0
,
P
>
0
Q>0, R>0, P>0
Q>0,R>0,P>0 ，故
V
˙
(
x
)
<
0
\dot{V}(x)<0
V˙(x)<0 ， 系统是渐进稳定的。
上面是从别处搬运的，我只是看了一遍公式无误，自己其实也看不太懂
也有一种说法，是说稳定性取决于状态矩阵A的特征值的符号，利用MATLAB语句[V,F] = eig(A)求得状态矩阵A的特征值以及对应的特征向量。
当全部为实根的时候，只有它们都小于零，系统才是稳定的。
可控性分析
只要满足一些基本条件，LQR的设计过程就能保证得到一个让系统稳定的反馈控制器。
- LQR定理 令系统 ( A , B ) (A,B) (A,B) 可控， R R R 和 Q Q Q 都是正定的，则闭环系统 ( A − B K ) ( A − B K ) (A−BK)近稳定。 > 注意，不管系统的开环稳定性如何，这都是成立的。> 回顾现控的相关知识：可控性可以通过检查可控性矩阵> > > > > U> > > => > > > [> > > > > > > B> > > > > > > > A> > > B> > > > > > > > > > A> > > 2> > > > B> > > > > > > > ⋯> > > > > > > > > A> > > > n> > > −> > > 1> > > > > B> > > > > > > > ]> > > > > U=\left[\begin{array}{lllll} B & A B & A^{2} B & \cdots & A^{n-1} B \end{array}\right]> > > U=[BABA2B⋯An−1B]是否满秩来判断
✨matlab实现LQR可视化
模型介绍
物理模型
我们以经典的一阶倒立摆模型为例，进行建模【模型如图】
在此模型中，设
物理量符号滑块质量
M
M
M摆杆质量
m
m
m摆杆转动轴心到杆质心长度【半杆长】
l
l
l摆杆在转轴处转动惯量
J
J
J小车受到外力
F
F
F小车位置
x
x
x摆杆与竖直方向夹角【本文**顺时针**为正】
θ
\theta
θ
x
=
[
x
1
x
2
x
3
x
4
]
=
[
θ
θ
˙
x
x
˙
]
,
u
=
F
x=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \theta \\ \dot{\theta} \\ x \\ \dot{x} \end{array}\right],u=F
x=x1x2x3x4=θθ˙xx˙,u=F
状态方程模型
通过物理建模及化简，最终能得到状态方程
A
、
B
、
C
、
D
A、B、C、D
A、B、C、D四个矩阵的表达式【表达式推导见第二期】
x
˙
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
(1)
\begin{array}{l} \dot{x}=A x+B u \\ y=C x+D u \end{array}\tag{1}
x˙=Ax+Buy=Cx+Du(1)
代码
% ------------------------------------------% 本代码使用最经典的一阶倒立摆模型建模% % ------------------------------------------
clc;clear;close all;
g =9.80665;
m =1;
M =0.1;
l =0.18;% 半杆长
J =1/3* m *(2* l)^2;% ------------------------------------% 创建一个状态空间模型
A21 = m*g*l*(M+m)/(J*(M+m)+M*m*l^2);
A41 =-m^2*g*l^2/(J*(M+m)+M*m*l^2);
A =[0100;
A21 000;0001;
A41 000];% [theta, dtheta, x, dx]
B2 =-m*l/(J*(M+m)+M*m*l^2);
B4 =(J+m*l^2)/(J*(M+m)+M*m*l^2);
B =[0;B2;0;B4];
C=[1000;0010];
D=[0;0];% ------------------------------------% 检验状态空间模型的可控性、稳定性分析eig(A)%% Qc=ctrb(A,B)%% rank(Qc)
Qb=obsv(A,C);rank(Qb)% ------------------------------------% 设计 LQR 控制器
Q =[100001000010000010];
R =1;
K =lqr(A,B,Q,R)% ------------------------------------% 定义输入信号和时间向量
t =0:0.02:4;
u =20*sin(4*t);%u = zeros(size(t)) * 0.2;% ------------------------------------% 模拟系统的响应% [theta, dtheta, x, dx]
x0 =[30;0;10;0];% 初始状态
sys=ss(A-B*K,B,C,D);%经过状态量反馈后的新状态矩阵[y, t, x]=lsim(sys, u, t, x0);% ------------------------------------% 绘制系统的输出信号和状态变量的时间响应
figure;subplot(2,1,1);plot(t, u,'r--', t,y(:,1),'b-', t,y(:,2),'r-');legend('输入信号','输出信号-theta','输出信号-x');xlabel('时间');ylabel('幅值');title('系统的输入输出信号');subplot(2,1,2);plot(t,x(:,1),'r-', t,x(:,2),'b--', t,x(:,3),'black-', t,x(:,4),'g--');legend('theta','omega','x','v');xlabel('时间');ylabel('幅值');title('系统的状态变量');% =========================================
运行结果
Q单位阵，R=10
Q为eig(10,1,10,1)，R=1
可以发现，输入信号的变化对于状态变量的收敛影响不大。
Q6:稳态误差相关控制
先贴ChatGPT的回答，有待笔者补充完善
Q：如果我想让LQR控制器控制结果中出现可被我准确控制的稳态误差，该怎么做？
回答一：Q后加常数
要让LQR控制器在系统稳定后出现可控的稳态误差，可以在成本函数中添加一个稳态误差的惩罚项。这个惩罚项可以使用系统输出与期望输出之间的偏差来表示。
具体来说，在LQR的成本函数中加入一个与系统输出偏差成比例的惩罚项。这可以通过在
Q
Q
Q矩阵中增加一个与输出偏差平方成比例的权重来实现。可以通过试验和调整权重的大小，以实现对稳态误差的控制。
以下是一个例子，演示如何在LQR控制器中添加一个稳态误差惩罚项：
假设我们有一个二阶系统，其状态空间表示为：
A = [0 1; 0 0];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;
我们希望控制系统的稳态误差，并使其快速响应。我们可以使用LQR控制器来优化控制器参数，同时在成本函数中添加一个与输出偏差平方成比例的惩罚项。具体而言，我们可以将
Q
Q
Q矩阵设置为：
Q =[10;010];
这样做可以增加对状态
x
2
x_2
x2的权重，从而加速系统的响应。然后，我们可以添加一个惩罚项来惩罚输出偏差，例如：
Q(2,2)= Q(2,2)+1000;
这样可以增加对输出偏差的权重，从而减小稳态误差。
最后，我们可以使用lqr函数计算LQR控制器的增益矩阵，并将其应用于系统：
R =1;
K = lqr(A, B, Q, R);
sys_cl = ss(A-B*K, B, C, D);
通过这样的设置，LQR控制器将通过调整输入信号来控制系统状态，并在稳态时保持输出与期望输出之间的偏差尽可能小。
回答二：加入积分项【LQI】
下一期指路
LQR的理解与运用 第二期——一阶倒立摆在matlab上的LQR实现
参考文档
(个人感觉最好✨→) 线性二次型调节器(LQR)原理详解
https://blog.csdn.net/qq_36133747/article/details/123413115
(推导K→) LQR最优控制方法小结
https://zhuanlan.zhihu.com/p/363033191
(应用篇)RoboMaster平衡步兵机器人控制系统设计
https://zhuanlan.zhihu.com/p/563048952当时的
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_51772802/article/details/128767706
版权归原作者 学书才浅 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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