对于给定的A、B和f，判断f是否为从A到B的函数：f：A→B.如果是，说明f是否为单射、满射、双射的.
A=B=R笛卡尔积R，f(<x,y>)=<y+1,x+1>
对于给定的集合
A
=
B
=
R
×
R
A=B=\mathbb{R}\times\mathbb{R}
A=B=R×R 和函数
f
:
A
→
B
f:A\rightarrow B
f:A→B，
f
(
⟨
x
,
y
⟩
)
=
⟨
y
+
1
,
x
+
1
⟩
f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle
f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩，我们需要判断
f
f
f 是否为从
A
A
A 到
B
B
B 的函数，以及
f
f
f 是否为单射、满射、双射。
首先需要检查
f
f
f 是否满足函数的定义：
- 对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 都将 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩ 映射到 B B B 中的某个元素 ⟨ u , v ⟩ ∈ B \langle u,v\rangle\in B ⟨u,v⟩∈B 上，即 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ y + 1 , x + 1 ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩。
- 对于 A A A 中的任意两个不同元素 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle ⟨x1,y1⟩ 和 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ \langle x_2,y_2\rangle ⟨x2,y2⟩，它们的像 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) f(⟨x1,y1⟩) 和 f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x2,y2⟩) 必须不同，即 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) ≠ f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) \neq f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=f(⟨x2,y2⟩)。
对于条件1，显然对于任意
⟨
x
,
y
⟩
∈
A
\langle x,y\rangle\in A
⟨x,y⟩∈A，
f
f
f 都将
⟨
x
,
y
⟩
\langle x,y\rangle
⟨x,y⟩ 映射到
B
B
B 中的一个有序对
⟨
y
+
1
,
x
+
1
⟩
\langle y+1,x+1\rangle
⟨y+1,x+1⟩ 上，因此
f
f
f 是从
A
A
A 到
B
B
B 的函数。
对于条件2，如果存在
⟨
x
1
,
y
1
⟩
\langle x_1,y_1\rangle
⟨x1,y1⟩ 和
⟨
x
2
,
y
2
⟩
∈
A
\langle x_2,y_2\rangle\in A
⟨x2,y2⟩∈A，使得它们不同但它们的像相同，即：
f
(
⟨
x
1
,
y
1
⟩
)
=
⟨
y
1
+
1
,
x
1
+
1
⟩
=
⟨
y
2
+
1
,
x
2
+
1
⟩
=
f
(
⟨
x
2
,
y
2
⟩
)
f(\langle x_1,y_1\rangle)=\langle y_1+1,x_1+1\rangle=\langle y_2+1,x_2+1\rangle=f(\langle x_2,y_2\rangle)
f(⟨x1,y1⟩)=⟨y1+1,x1+1⟩=⟨y2+1,x2+1⟩=f(⟨x2,y2⟩)
那么有：
{
y
1
+
1
=
y
2
+
1
x
1
+
1
=
x
2
+
1
\begin{cases} y_1+1=y_2+1\\ x_1+1=x_2+1 \end{cases}
{y1+1=y2+1x1+1=x2+1
从而得到
x
1
=
x
2
x_1=x_2
x1=x2 和
y
1
=
y
2
y_1=y_2
y1=y2，因此
⟨
x
1
,
y
1
⟩
=
⟨
x
2
,
y
2
⟩
\langle x_1,y_1\rangle=\langle x_2,y_2\rangle
⟨x1,y1⟩=⟨x2,y2⟩。因此
f
f
f 是单射。
接下来，我们需要判断
f
f
f 是否是满射或双射。
f f f 是满射吗？
一个函数
f
:
A
→
B
f:A\rightarrow B
f:A→B 是满射，当且仅当对于任意
b
∈
B
b\in B
b∈B，都存在
a
∈
A
a\in A
a∈A 使得
f
(
a
)
=
b
f(a)=b
f(a)=b。换句话说，
f
f
f 是满射，当且仅当
B
B
B 中的每个元素都是
f
(
A
)
f(A)
f(A) 中的元素。
对于本题中的函数
f
f
f，
A
=
B
=
R
×
R
A=B=\mathbb{R}\times\mathbb{R}
A=B=R×R，因此对于任意
⟨
u
,
v
⟩
∈
B
\langle u,v\rangle\in B
⟨u,v⟩∈B，只需要找到一个
⟨
x
,
y
⟩
∈
A
\langle x,y\rangle\in A
⟨x,y⟩∈A 使得
f
(
⟨
x
,
y
⟩
)
=
⟨
u
,
v
⟩
f(\langle x,y\rangle)=\langle u,v\rangle
f(⟨x,y⟩)=⟨u,v⟩ 即可。我们可以令
x
=
u
−
1
x=u-1
x=u−1，
y
=
v
−
1
y=v-1
y=v−1，则有：
f
(
⟨
u
−
1
,
v
−
1
⟩
)
=
⟨
(
v
−
1
)
+
1
,
(
u
−
1
)
+
1
⟩
=
⟨
v
,
u
⟩
f(\langle u-1,v-1\rangle)=\langle (v-1)+1,(u-1)+1\rangle=\langle v,u\rangle
f(⟨u−1,v−1⟩)=⟨(v−1)+1,(u−1)+1⟩=⟨v,u⟩
因此，对于任意
⟨
u
,
v
⟩
∈
B
\langle u,v\rangle\in B
⟨u,v⟩∈B，都存在
⟨
x
,
y
⟩
∈
A
\langle x,y\rangle\in A
⟨x,y⟩∈A 使得
f
(
⟨
x
,
y
⟩
)
=
⟨
u
,
v
⟩
f(\langle x,y\rangle)=\langle u,v\rangle
f(⟨x,y⟩)=⟨u,v⟩，因此
f
f
f 是满射。
f f f 是双射吗？
一个函数
f
:
A
→
B
f:A\rightarrow B
f:A→B 是双射，当且仅当它既是单射又是满射。
在本题中，由于
f
f
f 是单射且满射，因此它是双射。
综上所述，函数
f
:
R
×
R
→
R
×
R
f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}
f:R×R→R×R，
f
(
⟨
x
,
y
⟩
)
=
⟨
y
+
1
,
x
+
1
⟩
f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle
f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩ 是一个从
R
×
R
\mathbb{R}\times\mathbb{R}
R×R 到
R
×
R
\mathbb{R}\times\mathbb{R}
R×R 的函数，且是双射。
本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_51187533/article/details/131270060
版权归原作者 weixin_51187533 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
版权归原作者 weixin_51187533 所有， 如有侵权，请联系我们删除。