离散数学（十二）：关系的幂运算与关系的性质

1 关系的幂运算

**1）幂运算的定义 **

2）幂运算的求法

幂运算有两种求法，基于矩阵的方法和基于关系图的方法。我们之前学过关系的表示方法有三种：集合、矩阵、关系图。那么同样，这些方式也可以运用于关系的计算中。

需要的注意的是，基于关系图的运算是具有物理意义的，以R2为例，其中的任何一条有向边表示的是经过两步才能从有向边的起点到终点。

此外，基于矩阵的关系运算，是逻辑运算，这里的相乘是逻辑与运算，相加是逻辑或运算，因此所求得的结果矩阵中也只有0和1。

** 3）幂运算的性质**

2、关系的性质

1）性质的定义

关系的性质包括：自反、反自反、对称、反对称、传递五种。我们之前讲的关系有三种表示方法，集合、关系矩阵和关系图的表示。关系的性质，也可以从这三方面进行理解。需要关注以下几点：

（1）自反和反自反：关注的是集合中的一个元素，在关系矩阵的表示中，只关注对角线上的情况，对角线全为1，就是自反的，对角线上全为0，就是反自反的。

（2）对称与反对称：关注的是集合中两个不同的元素，在关系矩阵的表示中，只关注除对角线之外的上三角和下三角矩阵，上三角和小三角矩阵完全对称，就是对称的，上三角和小三角矩阵完全不对称，就是反对称的，既有对称的部分又有不对称的部分，就既不是对称也不是反对称的。

（3）传递：关注的是集合上关系中关系对之间的关系，要求存在<x,y><y,z>,必然存在<x,z>。当然如果只有<x,y>而没有<y,z>，条件都不成立，那么在蕴含情况下结论也一定为真，也有传递的性质。

2）关系性质的充要条件

3）关系性质的判别

4）关系性质的证明

以下四种性质的证明都是从性质的定义出发，利用题目中已知条件，构造结论。

5）运算与关系的性质

这一部分的解释后面会完善，大家可以先略过不看。