本文涉及知识点
动态规划汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
C++算法：滑动窗口总结
多重背包
LeetCode2902. 和带限制的子多重集合的数目
给你一个下标从 0 开始的非负整数数组 nums 和两个整数 l 和 r 。
请你返回 nums 中子多重集合的和在闭区间 [l, r] 之间的 子多重集合的数目 。
由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。
子多重集合 指的是从数组中选出一些元素构成的 无序 集合，每个元素 x 出现的次数可以是 0, 1, …, occ[x] 次，其中 occ[x] 是元素 x 在数组中的出现次数。
注意：
如果两个子多重集合中的元素排序后一模一样，那么它们两个是相同的 子多重集合 。
空 集合的和是 0 。
示例 1：
输入：nums = [1,2,2,3], l = 6, r = 6
输出：1
解释：唯一和为 6 的子集合是 {1, 2, 3} 。
示例 2：
输入：nums = [2,1,4,2,7], l = 1, r = 5
输出：7
解释：和在闭区间 [1, 5] 之间的子多重集合为 {1} ，{2} ，{4} ，{2, 2} ，{1, 2} ，{1, 4} 和 {1, 2, 2} 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,1,3,5,2], l = 3, r = 5
输出：9
解释：和在闭区间 [3, 5] 之间的子多重集合为 {3} ，{5} ，{1, 2} ，{1, 3} ，{2, 2} ，{2, 3} ，{1, 1, 2} ，{1, 1, 3} 和 {1, 2, 2} 。
提示：
1 <= nums.length <= 2 * 104
0 <= nums[i] <= 2 * 104
nums 的和不超过 2 * 104 。
0 <= l <= r <= 2 * 104
动态规划
vCnt[i]记录i在nums中出现的次数，vCnt[i]不为0的数目不超过200个。
子多重集合 就是子序列。
i为0要特殊处理，否则会死循环。
动态规划的状态表示
dp[i][j] 表示 ，从[0,i]中选取若干个数和为j的可能数。状态数：O(200r)。
注意用滚动向量vPre、dp实现。
由于unorder_map 大约是O(10)，所以有超时的风险。直接vector<vector<>> 空间复杂度是:O(nr)，空间会超。
利用前缀和优化转移方程
计算后置状态：
dp[j] =
∑
x
:
0
v
C
n
t
[
i
]
v
P
r
e
[
j
−
x
×
i
]
s
.
t
j
−
x
×
i
>
=
0
\Large\sum_{x:0}^{vCnt[i]}vPre[j-x\times i] \quad s.t \quad j-x \times i>=0
∑x:0vCnt[i]vPre[j−x×i]s.tj−x×i>=0
显然，可以用前缀和优化。
转移方程的时间复杂度为:O(1)，总时间复杂度为O(200r)。
动态规划的填表顺序
i从大到小。从小到大似乎也没问题。
动态规划的初始值
vPre[0]=1
动态规划的范围值
∑
x
:
l
r
v
P
r
e
[
x
]
\Large \sum _{x:l}^r vPre[x]
∑x:lrvPre[x]
代码
核心代码
template<int MOD =1000000007>classC1097Int{public:C1097Int(longlong llData =0):m_iData(llData% MOD){}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const{returnC1097Int(((longlong)m_iData + o.m_iData)% MOD);}
C1097Int&operator+=(const C1097Int& o){
m_iData =((longlong)m_iData + o.m_iData)% MOD;return*this;}
C1097Int&operator-=(const C1097Int& o){
m_iData =(m_iData + MOD - o.m_iData)% MOD;return*this;}
C1097Int operator-(const C1097Int& o){returnC1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData)% MOD);}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const{return((longlong)m_iData * o.m_iData)% MOD;}
C1097Int&operator*=(const C1097Int& o){
m_iData =((longlong)m_iData * o.m_iData)% MOD;return*this;}booloperator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}
C1097Int pow(longlong n)const{
C1097Int iRet =1, iCur =*this;while(n){if(n &1){
iRet *= iCur;}
iCur *= iCur;
n >>=1;}return iRet;}
C1097Int PowNegative1()const{returnpow(MOD -2);}intToInt()const{return m_iData;}private:int m_iData =0;;};classSolution{public:intcountSubMultisets(vector<int>& nums,int left,int r){constint iMax =*std::max_element(nums.begin(), nums.end());
vector<int>vCnt(1+ iMax);for(constauto& n : nums){
vCnt[n]++;}
vector<C1097Int<>>vPre(r +1);
vPre[0]=1;for(int i = iMax; i >=0; i--){if(0== vCnt[i]){continue;}
vector<C1097Int<>>dp(r +1);if(0== i){for(int k =0; k <= r; k++){
dp[k]= vPre[k]*(1+ vCnt[i]);}}else{for(int m =0; m < i; m++){
C1097Int<> iiSum =0;for(int k = m; k <= r; k += i){
iiSum += vPre[k];constint delIndex = k -(vCnt[i]+1)* i;if(delIndex >=0){
iiSum -= vPre[delIndex];}
dp[k]= iiSum;}}}
vPre.swap(dp);}
C1097Int<> biRet = std::accumulate( vPre.begin()+ left, vPre.begin()+ r +1,C1097Int<>());return biRet.ToInt();}};
测试用例
emplate<classT,classT2>voidAssert(const T& t1,const T2& t2){assert(t1 == t2);}template<classT>voidAssert(const vector<T>& v1,const vector<T>& v2){if(v1.size()!= v2.size()){assert(false);return;}for(int i =0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}intmain(){
vector<int> nums;int l, r;{
Solution sln;
nums ={1,2,2,3}, l =6, r =6;auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);Assert(1, res);}{
Solution sln;
nums ={2,1,4,2,7}, l =1, r =5;auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);Assert(7, res);}{
Solution sln;
nums ={1,2,1,3,5,2}, l =3, r =5;auto res = sln.countSubMultisets(nums, l, r);Assert(9, res);}}
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
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我想对大家说的话闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
版权归原作者 闻缺陷则喜何志丹 所有， 如有侵权，请联系我们删除。