扩散模型 (Diffusion Model) 简要介绍与源码分析
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前言
近期同事分享了 Diffusion Model, 这才发现生成模型的发展已经到了如此惊人的地步, OpenAI 推出的 Dall-E 2 可以根据文本描述生成极为逼真的图像, 质量之高直让人惊呼哇塞. 今早公众号给我推送了一篇关于 Stability AI 公司的报道, 他们推出的 AI 文生图扩散模型 Stable Diffusion 已开源, 能够在消费级显卡上实现 Dall-E 2 级别的图像生成, 效率提升了 30 倍.
于是找到他们的开源产品体验了一把, 在线体验地址在 https://huggingface.co/spaces/stabilityai/stable-diffusion (开源代码在 Github 上: https://github.com/CompVis/stable-diffusion), 在搜索框中输入 “A dog flying in the sky” (一只狗在天空飞翔), 生成效果如下:
Amazing! 当然, 不是每一张图片都符合预期, 但好在可以生成无数张图片, 其中总有效果好的. 在震惊之余, 不免对 Diffusion Model (扩散模型) 背后的原理感兴趣, 就想看看是怎么实现的.
当时同事分享时, PPT 上那一堆堆公式扑面而来, 把我给整懵圈了, 但还是得撑起下巴, 表现出似有所悟、深以为然的样子, 在讲到关键处不由暗暗点头以表示理解和赞许. 后面花了个周末专门学习了一下, 公式推导+代码分析, 感觉终于了解了基本概念, 于是记录下来形成此文, 不敢说自己完全懂了, 毕竟我不做这个方向, 但回过头去看 PPT 上的公式就不再发怵了.
广而告之
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总览
本文对 Diffusion Model 扩散模型的原理进行简要介绍, 然后对源码进行分析. 扩散模型的实现有多种形式, 本文关注的是 DDPM (denoising diffusion probabilistic models). 在介绍完基本原理后, 对作者释放的 Tensorflow 源码进行分析, 加深对各种公式的理解.
参考文章
在理解扩散模型的路上, 受到下面这些文章的启发, 强烈推荐阅读:
- Lilian 的博客, 内容非常非常详实, 干货十足, 而且每篇文章都极其用心, 向大佬学习: What are Diffusion Models?
- ewrfcas 的知乎, 公式推导补充了更多的细节: 由浅入深了解Diffusion Model
- Lilian 的博客, 介绍变分自动编码器 VAE: From Autoencoder to Beta-VAE, Diffusion Model 需要从分布中随机采样样本, 该过程无法求导, 需要使用到 VAE 中介绍的重参数技巧.
- Denoising Diffusion Probabilistic Models 论文, - 其 TF 源码位于: https://github.com/hojonathanho/diffusion, 源码介绍以该版本为主- PyTorch 的开源实现: https://github.com/lucidrains/denoising-diffusion-pytorch, 核心逻辑和上面 Tensorflow 版本是一致的, Stable Diffusion 参考的是 pytorch 版本的代码.
扩散模型介绍
基本原理
Diffusion Model (扩散模型) 是一类生成模型, 和 VAE (Variational Autoencoder, 变分自动编码器), GAN (Generative Adversarial Network, 生成对抗网络) 等生成网络不同的是, 扩散模型在前向阶段对图像逐步施加噪声, 直至图像被破坏变成完全的高斯噪声, 然后在逆向阶段学习从高斯噪声还原为原始图像的过程.
具体来说, 前向阶段在原始图像
x0\mathbf{x}_0x0 上逐步增加噪声, 每一步得到的图像xt\mathbf{x}_txt 只和上一步的结果xt−1\mathbf{x}_{t - 1}xt−1 相关, 直至第TTT 步的图像xT\mathbf{x}_TxT 变为纯高斯噪声. 前向阶段图示如下:
而逆向阶段则是不断去除噪声的过程, 首先给定高斯噪声
xT\mathbf{x}_TxT, 通过逐步去噪, 直至最终将原图像x0\mathbf{x}_0x0 给恢复出来, 逆向阶段图示如下:
模型训练完成后, 只要给定高斯随机噪声, 就可以生成一张从未见过的图像. 下面分别介绍前向阶段和逆向阶段, 只列出重要公式,
前向阶段
由于前向过程中图像
xt\mathbf{x}_txt 只和上一时刻的xt−1\mathbf{x}_{t - 1}xt−1 有关, 该过程可以视为马尔科夫过程, 满足:q(x1:T∣x0)=∏t=1Tq(xt∣xt−1)q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI),\begin{align} q\left(x_{1: T} \mid x_0\right) &=\prod_{t=1}^T q\left(x_t \mid x_{t-1}\right) \\ q\left(x_t \mid x_{t-1}\right) &=\mathcal{N}\left(x_t ; \sqrt{1-\beta_t} x_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}\right), \end{align}q(x1:T∣x0)q(xt∣xt−1)=t=1∏Tq(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI),
其中
βt∈(0,1)\beta_t\in(0, 1)βt∈(0,1) 为高斯分布的方差超参, 并满足β1<β2<…<βT\beta_1 < \beta_2 < \ldots < \beta_Tβ1<β2<…<βT. 另外公式 (2) 中为何均值xt−1x_{t-1}xt−1 前乘上系数1−βtxt−1\sqrt{1-\beta_t} x_{t-1}1−βtxt−1 的原因将在后面的推导介绍. 上述过程的一个美妙性质是我们可以在任意 time step 下通过 重参数技巧 采样得到xtx_txt.
重参数技巧 (reparameterization trick) 是为了解决随机采样样本这一过程无法求导的问题. 比如要从高斯分布
z∼N(z;μ,σ2I)z \sim \mathcal{N}(z; \mu, \sigma^2\mathbf{I})z∼N(z;μ,σ2I) 中采样样本zzz, 可以通过引入随机变量ϵ∼N(0,I)\epsilon\sim\mathcal{N}(0, \mathbf{I})ϵ∼N(0,I), 使得z=μ+σ⊙ϵz = \mu + \sigma\odot\epsilonz=μ+σ⊙ϵ, 此时zzz 依旧具有随机性, 且服从高斯分布N(μ,σ2I)\mathcal{N}(\mu, \sigma^2\mathbf{I})N(μ,σ2I), 同时μ\muμ 与σ\sigmaσ (通常由网络生成) 可导.
简要了解了重参数技巧后, 再回到上面通过公式 (2) 采样
xtx_txt 的方法, 即生成随机变量ϵt∼N(0,I)\epsilon_t\sim\mathcal{N}(0, \mathbf{I})ϵt∼N(0,I),
然后令
αt=1−βt\alpha_t = 1 - \beta_tαt=1−βt, 以及αt‾=∏i=1Tαt\overline{\alpha_t} = \prod_{i=1}^{T}\alpha_tαt=∏i=1Tαt, 从而可以得到:xt=1−βtxt−1+βtϵ1whereϵ1,ϵ2,…∼N(0,I),reparameter trick;=atxt−1+1−αtϵ1=at(at−1xt−2+1−αt−1ϵ2)+1−αtϵ1=atat−1xt−2+(at(1−αt−1)ϵ2+1−αtϵ1)=atat−1xt−2+1−αtαt−1ϵˉ2whereϵˉ2∼N(0,I);=…=αˉtx0+1−αˉtϵˉt.\begin{align} x_t &= \sqrt{1 - \beta_t} x_{t-1}+\beta_t \epsilon_1 \quad \text { where } \; \epsilon_1, \epsilon_2, \ldots \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}), \; \text{reparameter trick} ; \nonumber \\ &=\sqrt{a_t} x_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1\nonumber \\ &=\sqrt{a_t}\left(\sqrt{a_{t-1}} x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_{t-1}} \epsilon_2\right)+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \nonumber \\ &=\sqrt{a_t a_{t-1}} x_{t-2}+\left(\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1\right) \tag{3-1} \\ &=\sqrt{a_t a_{t-1}} x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_t \alpha_{t-1}} \bar{\epsilon}_2 \quad \text { where } \quad \bar{\epsilon}_2 \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) ; \tag{3-2} \\ &=\ldots \nonumber \\ &=\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \bar{\epsilon}_t. \end{align}xt=1−βtxt−1+βtϵ1 where ϵ1,ϵ2,…∼N(0,I),reparameter trick;=atxt−1+1−αtϵ1=at(at−1xt−2+1−αt−1ϵ2)+1−αtϵ1=atat−1xt−2+(at(1−αt−1)ϵ2+1−αtϵ1)=atat−1xt−2+1−αtαt−1ϵˉ2 where ϵˉ2∼N(0,I);=…=αˉtx0+1−αˉtϵˉt.(3-1)(3-2)
其中公式 (3-1) 到公式 (3-2) 的推导是由于独立高斯分布的可见性, 有
N(0,σ12I)+N(0,σ22I)∼N(0,(σ12+σ22)I)\mathcal{N}\left(0, \sigma_1^2\mathbf{I}\right) +\mathcal{N}\left(0,\sigma_2^2 \mathbf{I}\right)\sim\mathcal{N}\left(0, \left(\sigma_1^2 + \sigma_2^2\right)\mathbf{I}\right)N(0,σ12I)+N(0,σ22I)∼N(0,(σ12+σ22)I), 因此:at(1−αt−1)ϵ2∼N(0,at(1−αt−1)I)1−αtϵ1∼N(0,(1−αt)I)at(1−αt−1)ϵ2+1−αtϵ1∼N(0,[αt(1−αt−1)+(1−αt)]I)=N(0,(1−αtαt−1)I).\begin{aligned} &\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2 \sim \mathcal{N}\left(0, a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right) \mathbf{I}\right) \\ &\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \sim \mathcal{N}\left(0,\left(1-\alpha_t\right) \mathbf{I}\right) \\ &\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \sim \mathcal{N}\left(0,\left[\alpha_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)+\left(1-\alpha_t\right)\right] \mathbf{I}\right) \\ &=\mathcal{N}\left(0,\left(1-\alpha_t \alpha_{t-1}\right) \mathbf{I}\right) . \end{aligned}at(1−αt−1)ϵ2∼N(0,at(1−αt−1)I)1−αtϵ1∼N(0,(1−αt)I)at(1−αt−1)ϵ2+1−αtϵ1∼N(0,[αt(1−αt−1)+(1−αt)]I)=N(0,(1−αtαt−1)I).
注意公式 (3-2) 中
ϵˉ2∼N(0,I)\bar{\epsilon}_2 \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})ϵˉ2∼N(0,I), 因此还需乘上1−αtαt−1\sqrt{1-\alpha_t \alpha_{t-1}}1−αtαt−1. 从公式 (3) 可以看出q(xt∣x0)=N(xt;aˉtx0,(1−aˉt)I)\begin{align} q\left(x_t \mid x_0\right)=\mathcal{N}\left(x_t ; \sqrt{\bar{a}_t} x_0,\left(1-\bar{a}_t\right) \mathbf{I}\right) \end{align}q(xt∣x0)=N(xt;aˉtx0,(1−aˉt)I)
注意由于
βt∈(0,1)\beta_t\in(0, 1)βt∈(0,1) 且β1<…<βT\beta_1 < \ldots < \beta_Tβ1<…<βT, 而αt=1−βt\alpha_t = 1 - \beta_tαt=1−βt, 因此αt∈(0,1)\alpha_t\in(0, 1)αt∈(0,1) 并且有α1>…>αT\alpha_1 > \ldots>\alpha_Tα1>…>αT, 另外由于αˉt=∏i=1Tαt\bar{\alpha}_t=\prod_{i=1}^T\alpha_tαˉt=∏i=1Tαt, 因此当T→∞T\rightarrow\inftyT→∞ 时,αˉt→0\bar{\alpha}_t\rightarrow0αˉt→0 以及(1−aˉt)→1(1-\bar{a}_t)\rightarrow 1(1−aˉt)→1, 此时xT∼N(0,I)x_T\sim\mathcal{N}(0, \mathbf{I})xT∼N(0,I). 从这里的推导来看, 在公式 (2) 中的均值xt−1x_{t-1}xt−1 前乘上系数1−βtxt−1\sqrt{1-\beta_t} x_{t-1}1−βtxt−1 会使得xTx_{T}xT 最后收敛到标准高斯分布.
逆向阶段
前向阶段是加噪声的过程, 而逆向阶段则是将噪声去除, 如果能得到逆向过程的分布
q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt), 那么通过输入高斯噪声xT∼N(0,I)x_T\sim\mathcal{N}(0, \mathbf{I})xT∼N(0,I), 我们将生成一个真实的样本. 注意到当βt\beta_tβt 足够小时,q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt) 也是高斯分布, 具体的证明在 ewrfcas 的知乎文章: 由浅入深了解Diffusion Model 推荐的论文中:
On the theory of stochastic processes, with particular reference to applications
. 我大致看了一下, 哈哈, 没太看明白, 不过想到这个不是我关注的重点, 因此 pass. 由于我们无法直接推断
q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt), 因此我们将使用深度学习模型pθp_{\theta}pθ 去拟合分布q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt), 模型参数为θ\thetaθ:pθ(x0:T)=p(xT)∏t=1Tpθ(xt−1∣xt)pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))\begin{align} p_\theta\left(x_{0: T}\right) &=p\left(x_T\right) \prod_{t=1}^T p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) \\ p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) &=\mathcal{N}\left(x_{t-1} ; \mu_\theta\left(x_t, t\right), \Sigma_\theta\left(x_t, t\right)\right) \end{align}pθ(x0:T)pθ(xt−1∣xt)=p(xT)t=1∏Tpθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))
注意到, 虽然我们无法直接求得
q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt) (注意这里是qqq 而不是模型pθp_{\theta}pθ), 但在知道x0x_0x0 的情况下, 可以通过贝叶斯公式得到q(xt−1∣xt,x0)q\left(x_{t-1} \mid x_t, x_0\right)q(xt−1∣xt,x0) 为:q(xt−1∣xt,x0)=N(xt−1;μ~(xt,x0),β~tI)\begin{align} q\left(x_{t-1} \mid x_t, x_0\right) &= \mathcal{N}\left(x_{t-1} ; {\color{blue}{\tilde{\mu}}(x_t, x_0)}, {\color{red}{\tilde{\beta}_t} \mathbf{I}}\right) \end{align}q(xt−1∣xt,x0)=N(xt−1;μ~(xt,x0),β~tI)
推导过程如下:
q(xt−1∣xt,x0)=q(xt∣xt−1,x0)q(xt−1∣x0)q(xt∣x0)∝exp(−12((xt−αtxt−1)2βt+(xt−1−αˉt−1x0)21−αˉt−1−(xt−αˉtx0)21−αˉt))=exp(−12(xt2−2αtxtxt−1+αtxt−12βt+xt−12−2αˉt−1x0xt−1+αˉt−1x021−αˉt−1−(xt−αˉtx0)21−αˉt))=exp(−12((αtβt+11−αˉt−1)xt−12⏟xt−1方差−(2αtβtxt+2αˉt−11−αˉt−1x0)xt−1⏟xt−1均值+C(xt,x0)⏟与xt−1无关))\begin{aligned} q(x_{t-1} \vert x_t, x_0) &= q(x_t \vert x_{t-1}, x_0) \frac{ q(x_{t-1} \vert x_0) }{ q(x_t \vert x_0) } \\ &\propto \exp \Big(-\frac{1}{2} \big(\frac{(x_t - \sqrt{\alpha_t} x_{t-1})^2}{\beta_t} + \frac{(x_{t-1} - \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} - \frac{(x_t - \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_t} \big) \Big) \\ &= \exp \Big(-\frac{1}{2} \big(\frac{x_t^2 - 2\sqrt{\alpha_t} x_t \color{blue}{x_{t-1}} \color{black}{+ \alpha_t} \color{red}{x_{t-1}^2} }{\beta_t} + \frac{ \color{red}{x_{t-1}^2} \color{black}{- 2 \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} x_0} \color{blue}{x_{t-1}} \color{black}{+ \bar{\alpha}_{t-1} x_0^2} }{1-\bar{\alpha}_{t-1}} - \frac{(x_t - \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_t} \big) \Big) \\ &= \exp\Big( -\frac{1}{2} \big( \underbrace{\color{red}{(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}})} x_{t-1}^2}_{x_{t-1} \text { 方差 }} - \underbrace{\color{blue}{(\frac{2\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{2\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0)} x_{t-1}}_{x_{t-1} \text { 均值 }} + \underbrace{{\color{black}{ C(x_t, x_0)}}}_{\text {与 } x_{t-1} \text { 无关 }} \big) \Big) \end{aligned}q(xt−1∣xt,x0)=q(xt∣xt−1,x0)q(xt∣x0)q(xt−1∣x0)∝exp(−21(βt(xt−αtxt−1)2+1−αˉt−1(xt−1−αˉt−1x0)2−1−αˉt(xt−αˉtx0)2))=exp(−21(βtxt2−2αtxtxt−1+αtxt−12+1−αˉt−1xt−12−2αˉt−1x0xt−1+αˉt−1x02−1−αˉt(xt−αˉtx0)2))=exp(−21(xt−1 方差 (βtαt+1−αˉt−11)xt−12−xt−1 均值 (βt2αtxt+1−αˉt−12αˉt−1x0)xt−1+与 xt−1 无关 C(xt,x0)))
上面推导过程中, 通过贝叶斯公式巧妙的将逆向过程转换为前向过程, 且最终得到的概率密度函数和高斯概率密度函数的指数部分
exp(−(x−μ)22σ2)=exp(−12(1σ2x2−2μσ2x+μ2σ2))\exp{\left(-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)} = \exp{\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sigma^2}x^2 - \frac{2\mu}{\sigma^2}x + \frac{\mu^2}{\sigma^2}\right)\right)}exp(−2σ2(x−μ)2)=exp(−21(σ21x2−σ22μx+σ2μ2)) 能对应, 即有:β~t=1/(αtβt+11−αˉt−1)=1/(αt−αˉt+βtβt(1−αˉt−1))=1−αˉt−11−αˉt⋅βtμ~t(xt,x0)=(αtβtxt+αˉt−11−αˉt−1x0)/(αtβt+11−αˉt−1)=(αtβtxt+αˉt−11−αˉt−1x0)1−αˉt−11−αˉt⋅βt=αt(1−αˉt−1)1−αˉtxt+αˉt−1βt1−αˉtx0\begin{align} \tilde{\beta}_t &= 1/(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}) = 1/(\frac{\alpha_t - \bar{\alpha}_t + \beta_t}{\beta_t(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}) = \color{green}{\frac{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}{1 - \bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t} \\ \tilde{\mu}_t (x_t, x_0) &= (\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1} }}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0)/(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}) \nonumber\\ &= (\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1} }}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0) \color{green}{\frac{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}{1 - \bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t}\nonumber \\ &= \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} x_0\\ \end{align}β~tμ~t(xt,x0)=1/(βtαt+1−αˉt−11)=1/(βt(1−αˉt−1)αt−αˉt+βt)=1−αˉt1−αˉt−1⋅βt=(βtαtxt+1−αˉt−1αˉt−1x0)/(βtαt+1−αˉt−11)=(βtαtxt+1−αˉt−1αˉt−1x0)1−αˉt1−αˉt−1⋅βt=1−αˉtαt(1−αˉt−1)xt+1−αˉtαˉt−1βtx0
通过公式 (8) 和公式 (9), 我们能得到
q(xt−1∣xt,x0)q\left(x_{t-1} \mid x_t, x_0\right)q(xt−1∣xt,x0) (见公式 (7)) 的分布. 此外由于公式 (3) 揭示的xtx_txt 和x0x_0x0 之间的关系:xt=αˉtx0+1−αˉtϵˉtx_t =\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \bar{\epsilon}_txt=αˉtx0+1−αˉtϵˉt, 可以得到x0=1αˉt(xt−1−αˉtϵt)\begin{align} x_0 = \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t) \end{align}x0=αˉt1(xt−1−αˉtϵt)
代入公式 (9) 中得到:
μ~t=αt(1−αˉt−1)1−αˉtxt+αˉt−1βt1−αˉt1αˉt(xt−1−αˉtϵt)=1αt(xt−1−αt1−αˉtϵt)\begin{align} \tilde{\mu}_t &= \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t)\nonumber \\ &= \color{cyan}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big)} \end{align}μ~t=1−αˉtαt(1−αˉt−1)xt+1−αˉtαˉt−1βtαˉt1(xt−1−αˉtϵt)=αt1(xt−1−αˉt1−αtϵt)
补充一下公式 (11) 的详细推导过程:
前面说到, 我们将使用深度学习模型
pθp_{\theta}pθ 去拟合逆向过程的分布q(xt−1∣xt)q\left(x_{t-1} \mid x_t\right)q(xt−1∣xt), 由公式 (6) 知pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) =\mathcal{N}\left(x_{t-1} ; \mu_\theta\left(x_t, t\right), \Sigma_\theta\left(x_t, t\right)\right)pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t)), 我们希望训练模型μθ(xt,t)\mu_\theta\left(x_t, t\right)μθ(xt,t) 以预估μ~t=1αt(xt−1−αt1−αˉtϵt)\tilde{\mu}_t = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big)μ~t=αt1(xt−1−αˉt1−αtϵt). 由于xtx_txt 在训练阶段会作为输入, 因此它是已知的, 我们可以转而让模型去预估噪声ϵt\epsilon_tϵt, 即令:μθ(xt,t)=1αt(xt−1−αt1−αˉtϵθ(xt,t))Thusxt−1=N(xt−1;1αt(xt−1−αt1−αˉtϵθ(xt,t)),Σθ(xt,t))\begin{align} \mu_\theta(x_t, t) &= \color{cyan}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_\theta(x_t, t) \Big)} \\ \text{Thus }x_{t-1} &= \mathcal{N}(x_{t-1}; \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_\theta(x_t, t) \Big), \boldsymbol{\Sigma}_\theta(x_t, t)) \end{align}μθ(xt,t)Thus xt−1=αt1(xt−1−αˉt1−αtϵθ(xt,t))=N(xt−1;αt1(xt−1−αˉt1−αtϵθ(xt,t)),Σθ(xt,t))
模型训练
前面谈到, 逆向阶段让模型去预估噪声
ϵθ(xt,t)\epsilon_\theta(x_t, t)ϵθ(xt,t), 那么应该如何设计 Loss 函数 ? 我们的目标是在真实数据分布下, 最大化模型预测分布的对数似然, 即优化在x0∼q(x0)x_0\sim q(x_0)x0∼q(x0) 下的pθ(x0)p_\theta(x_0)pθ(x0) 交叉熵:L=Eq(x0)[−logpθ(x0)]\begin{align} \mathcal{L} = \mathbb{E}_{q(x_0)}\left[-\log{p_\theta(x_0)}\right] \end{align}L=Eq(x0)[−logpθ(x0)]
和 变分自动编码器 VAE 类似, 使用 Variational Lower Bound 来优化:
−logpθ(x0)-\log{p_\theta(x_0)}−logpθ(x0) :−logpθ(x0)≤−logpθ(x0)+DKL(q(x1:T∣x0)∥pθ(x1:T∣x0));注: 注意KL散度非负=−logpθ(x0)+Eq(x1:T∣x0)[logq(x1:T∣x0)pθ(x0:T)/pθ(x0)];wherepθ(x1:T∣x0)=pθ(x0:T)pθ(x0)=−logpθ(x0)+Eq(x1:T∣x0)[logq(x1:T∣x0)pθ(x0:T)+logpθ(x0)⏟与q无关]=Eq(x1:T∣x0)[logq(x1:T∣x0)pθ(x0:T)].\begin{align} -\log p_\theta\left(x_0\right) &\leq-\log p_\theta\left(x_0\right)+D_{K L}\left(q\left(x_{1: T} \mid x_0\right) \| p_\theta\left(x_{1: T} \mid x_0\right)\right); \quad \text{注: 注意KL散度非负}\nonumber\\ &=-\log p_\theta\left(x_0\right)+\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right) / p_\theta\left(x_0\right)}\right] ; \; \text { where } \; p_\theta\left(x_{1: T} \mid x_0\right)=\frac{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}{p_\theta\left(x_0\right)}\nonumber\\ &=-\log p_\theta\left(x_0\right)+\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}+\underbrace{\log p_\theta\left(x_0\right)}_{\text {与q无关 }}]\nonumber\\ &=\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}\right] . \end{align}−logpθ(x0)≤−logpθ(x0)+DKL(q(x1:T∣x0)∥pθ(x1:T∣x0));注: 注意KL散度非负=−logpθ(x0)+Eq(x1:T∣x0)[logpθ(x0:T)/pθ(x0)q(x1:T∣x0)]; where pθ(x1:T∣x0)=pθ(x0)pθ(x0:T)=−logpθ(x0)+Eq(x1:T∣x0)[logpθ(x0:T)q(x1:T∣x0)+与q无关 logpθ(x0)]=Eq(x1:T∣x0)[logpθ(x0:T)q(x1:T∣x0)].
对公式 (15) 左右两边取期望
Eq(x0)\mathbb{E}_{q(x_0)}Eq(x0), 利用到重积分中的 Fubini 定理 可得:LVLB=Eq(x0)(Eq(x1:T∣x0)[logq(x1:T∣x0)pθ(x0:T)])=Eq(x0:T)[logq(x1:T∣x0)pθ(x0:T)]⏟Fubini定理≥Eq(x0)[−logpθ(x0)]\mathcal{L}_{V L B}=\underbrace{\mathbb{E}_{q\left(x_0\right)}\left(\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}\right]\right)=\mathbb{E}_{q\left(x_{0: T}\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}\right]}_{\text {Fubini定理 }} \geq \mathbb{E}_{q\left(x_0\right)}\left[-\log p_\theta\left(x_0\right)\right]LVLB=Fubini定理 Eq(x0)(Eq(x1:T∣x0)[logpθ(x0:T)q(x1:T∣x0)])=Eq(x0:T)[logpθ(x0:T)q(x1:T∣x0)]≥Eq(x0)[−logpθ(x0)]
因此最小化
LVLB\mathcal{L}_{V L B}LVLB 就可以优化公式 (14) 中的目标函数. 之后对LVLB\mathcal{L}_{V L B}LVLB 做进一步的推导, 这部分的详细推导见上面的参考文章, 最终的结论是:LVLB=LT+LT−1+…+L0LT=DKL(q(xT∣x0)∣∣pθ(xT))Lt=DKL(q(xt∣xt+1,x0)∣∣pθ(xt∣xt+1));1≤t≤T−1L0=−logpθ(x0∣x1)\begin{align} \mathcal{L}_{V L B} &= L_T + L_{T - 1} + \ldots + L_0 \\ L_T &= D_{KL}\left(q(x_T|x_0)||p_{\theta}(x_T)\right) \\ L_t &= D_{KL}\left(q(x_t|x_{t + 1}, x_0)||p_{\theta}(x_t|x_{t+1})\right); \quad 1 \leq t \leq T - 1 \\ L_0 &= -\log{p_\theta\left(x_0|x_1\right)} \end{align}LVLBLTLtL0=LT+LT−1+…+L0=DKL(q(xT∣x0)∣∣pθ(xT))=DKL(q(xt∣xt+1,x0)∣∣pθ(xt∣xt+1));1≤t≤T−1=−logpθ(x0∣x1)
最终是优化两个高斯分布
q(xt∣xt−1,x0)=N(xt−1;μ~(xt,x0),β~tI)q(x_t|x_{t - 1}, x_0) = \mathcal{N}\left(x_{t-1} ; {\color{blue}{\tilde{\mu}}(x_t, x_0)}, {\color{red}{\tilde{\beta}_t} \mathbf{I}}\right)q(xt∣xt−1,x0)=N(xt−1;μ~(xt,x0),β~tI) (详见公式 (7)) 与pθ(xt∣xt+1)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ)p_{\theta}(x_t|x_{t+1}) = \mathcal{N}\left(x_{t-1} ; \mu_\theta\left(x_t, t\right), \Sigma_\theta\right)pθ(xt∣xt+1)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ) (详见公式(6), 此为模型预估的分布)之间的 KL 散度. 由于多元高斯分布的 KL 散度存在闭式解, 详见: Multivariate_normal_distributions, 从而可以得到:Lt=Ex0,ϵ[12∥Σθ(xt,t)∥22∥μ~t(xt,x0)−μθ(xt,t)∥2]=Ex0,ϵ[12∥Σθ∥22∥1αt(xt−1−αt1−αˉtϵt)−1αt(xt−1−αt1−αˉtϵθ(xt,t))∥2]=Ex0,ϵ[(1−αt)22αt(1−αˉt)∥Σθ∥22∥ϵt−ϵθ(xt,t)∥2];其中ϵt为高斯噪声,ϵθ为模型学习的噪声=Ex0,ϵ[(1−αt)22αt(1−αˉt)∥Σθ∥22∥ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)∥2]\begin{align} L_t &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{1}{2 \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta(x_t, t) \|^2_2} \| \color{blue}{\tilde{\mu}_t(x_t, x_0)} - \color{green}{\mu_\theta(x_t, t)} \|^2 \Big] \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{1}{2 \|\boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \| \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big)} - \color{green}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \boldsymbol{\epsilon}_\theta(x_t, t) \Big)} \|^2 \Big] \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{ (1 - \alpha_t)^2 }{2 \alpha_t (1 - \bar{\alpha}_t) \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \|\epsilon_t - \epsilon_\theta(x_t, t)\|^2 \Big]; \quad \text{其中} \epsilon_t \text{为高斯噪声}, \epsilon_{\theta} \text{为模型学习的噪声} \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{ (1 - \alpha_t)^2 }{2 \alpha_t (1 - \bar{\alpha}_t) \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \|\epsilon_t - \epsilon_\theta(\sqrt{\bar{\alpha}_t}x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t, t)\|^2 \Big] \end{align}Lt=Ex0,ϵ[2∥Σθ(xt,t)∥221∥μ~t(xt,x0)−μθ(xt,t)∥2]=Ex0,ϵ[2∥Σθ∥221∥αt1(xt−1−αˉt1−αtϵt)−αt1(xt−1−αˉt1−αtϵθ(xt,t))∥2]=Ex0,ϵ[2αt(1−αˉt)∥Σθ∥22(1−αt)2∥ϵt−ϵθ(xt,t)∥2];其中ϵt为高斯噪声,ϵθ为模型学习的噪声=Ex0,ϵ[2αt(1−αˉt)∥Σθ∥22(1−αt)2∥ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)∥2]
DDPM 将 Loss 简化为如下形式:
Ltsimple=Ex0,ϵt[∥ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)∥2]\begin{align} L_t^{\text {simple }}=\mathbb{E}_{x_0, \epsilon_t}\left[\left\|\epsilon_t-\epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right)\right\|^2\right] \end{align}Ltsimple =Ex0,ϵt[ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)2]
因此 Diffusion 模型的目标函数即是学习高斯噪声
ϵt\epsilon_tϵt 和ϵθ\epsilon_{\theta}ϵθ (来自模型输出) 之间的 MSE loss.
最终算法
最终 DDPM 的算法流程如下:
训练阶段重复如下步骤:
- 从数据集中采样 x 0 x_0 x0
- 随机选取 time step t t t
- 生成高斯噪声 ϵ t ∈ N ( 0 , I ) \epsilon_t\in\mathcal{N}(0, \mathbf{I}) ϵt∈N(0,I)
- 调用模型预估 ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) \epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right) ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)
- 计算噪声之间的 MSE Loss: ∥ ϵ t − ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) ∥ 2 \left|\epsilon_t-\epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right)\right|^2 ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)2, 并利用反向传播算法训练模型.
逆向阶段采用如下步骤进行采样:
- 从高斯分布采样 x T x_T xT
- 按照 T , … , 1 T, \ldots, 1 T,…,1 的顺序进行迭代: - 如果 t = 1 t = 1 t=1, 令 z = 0 \mathbf{z} = {0} z=0; 如果 t > 1 t > 1 t>1, 从高斯分布中采样 z ∼ N ( 0 , I ) \mathbf{z}\sim\mathcal{N}(0, \mathbf{I}) z∼N(0,I)- 利用公式 (12) 学习出均值 μ θ ( x t , t ) = 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ θ ( x t , t ) ) \mu_\theta(x_t, t) = \color{cyan}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_\theta(x_t, t) \Big)} μθ(xt,t)=αt1(xt−1−αˉt1−αtϵθ(xt,t)), 并利用公式 (8) 计算均方差 σ t = β ~ t = 1 − α ˉ t − 1 1 − α ˉ t ⋅ β t \sigma_t = \sqrt{\tilde{\beta}t} = \sqrt{\frac{1 - \bar{\alpha}{t-1}}{1 - \bar{\alpha}t} \cdot \beta_t} σt=β~t=1−αˉt1−αˉt−1⋅βt- 通过重参数技巧采样 x t − 1 = μ θ ( x t , t ) + σ t z x{t - 1} = \mu_\theta(x_t, t) + \sigma_t\mathbf{z} xt−1=μθ(xt,t)+σtz
- 经过以上过程的迭代, 最终恢复 x 0 x_0 x0.
源码分析
DDPM 文章以及代码的相关信息如下:
- Denoising Diffusion Probabilistic Models 论文, - 其 TF 源码位于: https://github.com/hojonathanho/diffusion, 源码介绍以该版本为主- PyTorch 的开源实现: https://github.com/lucidrains/denoising-diffusion-pytorch, 核心逻辑和上面 Tensorflow 版本是一致的, Stable Diffusion 参考的是 pytorch 版本的代码.
本文以分析 Tensorflow 源码为主, Pytorch 版本的代码和 Tensorflow 版本的实现逻辑大体不差的, 变量名字啥的都类似, 阅读起来不会有啥门槛. Tensorlow 源码对 Diffusion 模型的实现位于 diffusion_utils_2.py, 模型本身的分析以该文件为主.
训练阶段
以 CIFAR 数据集为例.
在 run_cifar.py 中进行前向传播计算 Loss:
- 第 6 行随机选出 t ∼ Uniform ( { 1 , … , T } ) t\sim\text{Uniform}({1, \ldots, T}) t∼Uniform({1,…,T})
- 第 7 行
training_losses定义在 GaussianDiffusion2 中, 计算噪声间的 MSE Loss.
进入 GaussianDiffusion2 中, 看到初始化函数中定义了诸多变量, 我在注释中使用公式的方式进行了说明:
下面进入到
training_losses
函数中:
- 第 19 行:
self.model_mean_type默认是eps, 模型学习的是噪声, 因此target是第 6 行定义的noise, 即 ϵ t \epsilon_t ϵt - 第 9 行: 调用
self.q_sample计算 x t x_t xt, 即公式 (3) x t = α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t x_t =\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t xt=αˉtx0+1−αˉtϵt - 第 21 行:
denoise_fn是定义在 unet.py 中的UNet模型, 只需知道它的输入和输出大小相同; 结合第 9 行得到的 x t x_t xt, 得到模型预估的噪声: ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) \epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right) ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t) - 第 23 行: 计算两个噪声之间的 MSE: ∥ ϵ t − ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) ∥ 2 \left|\epsilon_t-\epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right)\right|^2 ϵt−ϵθ(αˉtx0+1−αˉtϵt,t)2, 并利用反向传播算法训练模型
上面第 9 行定义的
self.q_sample
详情如下:
- 第 13 行的
q_sample已经介绍过, 不多说. - 第 2 行的
_extract在代码中经常被使用到, 看到它只需知道它是用来提取系数的即可. 引入输入是一个 Batch, 里面的每个样本都会随机采样一个 time step t t t, 因此需要使用tf.gather来将 α t ˉ \bar{\alpha_t} αtˉ 之类选出来, 然后将系数 reshape 为[B, 1, 1, ....]的形式, 目的是为了利用 broadcasting 机制和 x t x_t xt 这个 Tensor 相乘.
前向的训练阶段代码实现非常简单, 下面看逆向阶段
逆向阶段
逆向阶段代码定义在 GaussianDiffusion2 中:
- 第 5 行生成高斯噪声 x T x_T xT, 然后对其不断去噪直至恢复原始图像
- 第 11 行的
self.p_sample就是公式 (6) p θ ( x t − 1 ∣ x t ) = N ( x t − 1 ; μ θ ( x t , t ) , Σ θ ( x t , t ) ) p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) =\mathcal{N}\left(x_{t-1} ; \mu_\theta\left(x_t, t\right), \Sigma_\theta\left(x_t, t\right)\right) pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t)) 的过程, 使用模型来预估 μ θ ( x t , t ) \mu_\theta\left(x_t, t\right) μθ(xt,t) 以及 Σ θ ( x t , t ) \Sigma_\theta\left(x_t, t\right) Σθ(xt,t) - 第 12 行的
denoise_fn在前面说过, 是定义在 unet.py 中的UNet模型;img_表示 x t x_t xt. - 第 13 行的
noise_fn则默认是tf.random_normal, 用于生成高斯噪声.
进入
p_sample
函数:
- 第 7 行调用
self.p_mean_variance生成 μ θ ( x t , t ) \mu_\theta\left(x_t, t\right) μθ(xt,t) 以及 log ( Σ θ ( x t , t ) ) \log\left(\Sigma_\theta\left(x_t, t\right)\right) log(Σθ(xt,t)), 其中 Σ θ ( x t , t ) \Sigma_\theta\left(x_t, t\right) Σθ(xt,t) 通过计算 β ~ t \tilde{\beta}_t β~t 得到. - 第 11 行从高斯分布中采样 z \mathbf{z} z
- 第 18 行通过重参数技巧采样 x t − 1 = μ θ ( x t , t ) + σ t z x_{t - 1} = \mu_\theta(x_t, t) + \sigma_t\mathbf{z} xt−1=μθ(xt,t)+σtz, 其中 σ t = β ~ t \sigma_t = \sqrt{\tilde{\beta}_t} σt=β~t
进入
self.p_mean_variance
函数:
- 第 6 行调用模型
denoise_fn, 通过输入 x t x_t xt, 输出得到噪声 ϵ t \epsilon_t ϵt - 第 19 行
self.model_var_type默认为fixedlarge, 但我当时看fixedsmall比较爽, 因此model_variance和model_log_variance分别为 β ~ t = 1 − α ˉ t − 1 1 − α ˉ t ⋅ β t \tilde{\beta}t = \frac{1 - \bar{\alpha}{t-1}}{1 - \bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t βt=1−αˉt1−αˉt−1⋅βt (见公式 8), 以及 log β ~ t \log\tilde{\beta}_t logβt - 第 29 行调用
self._predict_xstart_from_eps函数, 利用公式 (10) 得到 x 0 = 1 α ˉ t ( x t − 1 − α ˉ t ϵ t ) x_0 = \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t) x0=αˉt1(xt−1−αˉtϵt) - 第 30 行调用
self.q_posterior_mean_variance通过公式 (9) 得到 μ θ ( x t , x 0 ) = α t ( 1 − α ˉ t − 1 ) 1 − α ˉ t x t + α ˉ t − 1 β t 1 − α ˉ t x 0 \mu_\theta(x_t, x_0) = \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} x_0 μθ(xt,x0)=1−αˉtαt(1−αˉt−1)xt+1−αˉtαˉt−1βtx0
self._predict_xstart_from_eps
函数相亲如下:
- 该函数计算 x 0 = 1 α ˉ t ( x t − 1 − α ˉ t ϵ t ) x_0 = \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t) x0=αˉt1(xt−1−αˉtϵt)
self.q_posterior_mean_variance
函数详情如下:
- 相关说明见注释, 另外发现对于 μ θ ( x t , x 0 ) \mu_\theta(x_t, x_0) μθ(xt,x0) 的计算使用的是公式 (9) μ θ ( x t , x 0 ) = α t ( 1 − α ˉ t − 1 ) 1 − α ˉ t x t + α ˉ t − 1 β t 1 − α ˉ t x 0 \mu_\theta(x_t, x_0) = \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} x_0 μθ(xt,x0)=1−αˉtαt(1−αˉt−1)xt+1−αˉtαˉt−1βtx0 而不是进一步推导后的公式 (11) μ θ ( x t , x 0 ) = 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ t ) \mu_\theta(x_t, x_0) = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big) μθ(xt,x0)=αt1(xt−1−αˉt1−αtϵt).
总结
写文章真的挺累的, 好处是, 我发现写之前我以为理解了, 但写的过程中又发现有些地方理解的不对. 写完后才终于把逻辑理顺.
本文转载自: https://blog.csdn.net/Eric_1993/article/details/127455977
版权归原作者 珍妮的选择 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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