Python 数学建模 Topsis 优劣解距离法

Topsis优劣解距离法用于求解 [样本 - 指标] 类型的数据，其行标签为样本序号，列标签为指标名称，将其 shape 记为 [sample, feature]

原始的 Topsis 是默认所有指标的权重相等，如果有四个指标，则权重向量是 [0.25 0.25 0.25 0.25]

本文将会讲解 熵权法、指标正向化、样本评分 的代码 (基于 numpy)

熵权法

熵权法的输入是 shape 为 [sample, feature] 的矩阵，输出是 shape 为 [feature, ] 的权值

• 原始输入：origin -> 使各列向量和为1 -> proba
• info：信息量 -ln(proba)
• entropy：信息熵 (Σ proba * info) / ln(n)
• redu：冗余度 1 - entropy

指标对应的权值即为其冗余度在所有冗余度之和的占比

def comentropy(origin):
    ''' 熵权法
        proba: 概率
        info: 信息量 -ln(proba)
        entropy: 信息熵 (Σ proba * info) / ln(n)
        redu: 冗余度 1 - entropy'''
    num = origin.shape[0]
    proba = origin / origin.sum(axis=0).reshape(1, -1)
    info = -np.log(proba, where=proba > 0)
    entropy = (proba * info).sum(axis=0) / np.log(num)
    redu = 1 - entropy
    weight = redu / redu.sum()
    return weight

指标正向化

枚举每一列 (指标向量)，单独做处理，最后再一起归一化

输入是 shape 为 [sample, feature] 的原始矩阵，输出为 shape 为 [sample, feature] 的正向化矩阵

具体使用方法在后面

num = (int, float)

def positive(data, flags):
    ''' data:
            行索引: 各方案
            列索引: 各指标
        flags: 指标类型
            True: 效益型
            False: 成本型
            num: 中间型
            [num, num]: 区间型
        return: 正向化, 标准化矩阵'''
    data = data.copy()
    # 拷贝张量
    for idx, flag in enumerate(flags):
        col = data[:, idx]
        if isinstance(flag, bool):
            if not flag:
                data[:, idx] = col.max() - col
                # 成本型指标
        elif isinstance(flag, num):
            col = np.abs(col - flag)
            data[:, idx] = 1 - col / col.max()
            # 中间型指标
        elif len(flag) == 2:
            left, right = sorted(flag)
            if isinstance(left, num) and isinstance(right, num):
                col = (left - col) * (col < left) + (col - right) * (col > right)
                data[:, idx] = 1 - col / col.max()
                # 区间型指标
            else:
                raise AssertionError('区间型指标数据类型出错')
        else:
            raise AssertionError('出现无法识别的指标类型')
    data /= (data ** 2).sum(axis=0) ** 0.5
    return data

样本评分

以正向化矩阵各列最大值合成的样本作为优样本，各列最小值合成的样本为劣样本

计算加权欧式距离得到每个样本到优样本、劣样本的距离，以到劣样本的距离与两距离之和的比为样本得分

输入是 shape 为 [sample, feature] 的正向化矩阵，输出是 shape 为 [sample, ] 的样本得分

def cal_score(pos, weight=None):
    ''' pos: 正向化, 标准化矩阵
        weight: 权重向量
        return: 样本得分'''
    if np.all(weight is None):
        length = pos.shape[1]
        weight = np.ones([1, length])
        # 当无权值要求，则各个指标权值相等
    else:
        weight = np.array(weight).reshape([1, -1])
        # 使用指定的权值
    weight /= weight.sum()
    # 令权值和为1
    worst = pos.min(axis=0)
    best = pos.max(axis=0)
    # 劣样本、优样本
    dis_p = ((weight * (pos - best)) ** 2).sum(axis=1) ** 0.5
    dis_n = ((weight * (pos - worst)) ** 2).sum(axis=1) ** 0.5
    # 样本到劣样本、优样本的距离
    score = dis_n / (dis_p + dis_n)
    # 计算得分
    return score.reshape(-1, 1)

实战：评价水质

含氧量为效益性指标，pH 值为中间型指标，细菌总数为成本型指标，植物性营养物量为区间型指标 (处在 [10, 20] 区间内最好) —— 指标正向化函数的 flags 参数表示为：

[True, 7, False, (10, 20) ]

pos = positive(data, [True, 7, False, (10, 20)])
# 指标正向化
weight = comentropy(pos)
# 熵权法求指标权重
score = cal_score(pos, weight)
# 计算得分

index = np.argsort(score.T[0])
Ascii = reversed(index + 65)
# 将数值索引转化为 ASCII 码
print(" ".join(map(chr, Ascii)))
# 输出河流排名