Matplotlib 3D小红花的绘制原理

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前言

  在上篇博客中使用了

matplotlib

绘制了3D小红花，本篇博客主要介绍一下3D小红花的绘制原理。

1. 极坐标系

  对于极坐标系中的一点

    P
   
  
  
   P
  
 
P，我们可以用极径 
 
  
   
    r
   
  
  
   r
  
 
r 和极角 
 
  
   
    θ
   
  
  
   \theta
  
 
θ 来表示，记为点 
 
  
   
    P
   
   
    (
   
   
    r
   
   
    ,
   
   
    θ
   
   
    )
   
  
  
   P(r, \theta)
  
 
P(r,θ)，其相关知识在高中就已经介绍，这里不再赘述。

  使用

matplotlib

绘制极坐标系：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
if __name__ =='__main__':# 极径
    r = np.arange(10)# 角度
    theta =0.5* np.pi * r
    fig = plt.figure()
    plt.polar(theta, r, c='r', marker='o', ms=3, ls='-', lw=1)# plt.savefig('img/polar1.png')
    plt.show()

  使用

matplotlib

绘制极坐标散点图：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
if __name__ =='__main__':
    r = np.linspace(0,10, num=10)
    theta =2* np.pi * r
    area =3* r **2
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.scatter(theta, r, c=theta, s=area, cmap='hsv', alpha=0.75)# plt.savefig('img/polar2.png')
    plt.show()

  有关

matplotlib

极坐标的参数更多介绍，可参阅官网手册。

2. 极坐标系花瓣

  绘制

    r
   
   
    =
   
   
    s
   
   
    i
   
   
    n
   
   
    (
   
   
    θ
   
   
    )
   
  
  
   r=sin(\theta)
  
 
r=sin(θ) 在极坐标系下的图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
if __name__ =='__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1,1, num=5), labels='')
    theta = np.linspace(0,2* np.pi, num=200)
    r = np.sin(theta)
    ax.plot(theta, r)# plt.savefig('img/polar3.png')
    plt.show()

  以

    2
   
   
    π
   
  
  
   2\pi
  
 
2π 为一个周期，增加图像的旋转周期：

r = np.sin(2* theta)

  继续增加图像的旋转周期：

r = np.sin(3* theta)
r = np.sin(4* theta)

  然后我们可以通过调整极径系数和角度系数来调整图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
if __name__ =='__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1,1, num=5), labels='')
    theta = np.linspace(0,2* np.pi, num=200)
    r1 = np.sin(4*(theta + np.pi /8))
    r2 =0.5* np.sin(5* theta)
    r3 =2* np.sin(6*(theta + np.pi /12))
    ax.plot(theta, r1)
    ax.plot(theta, r2)
    ax.plot(theta, r3)# plt.savefig('img/polar4.png')
    plt.show()

3. 三维花瓣

  现在可以将花瓣放置在三维空间上了，根据花瓣的生成规律，其花瓣外边缘线在一条旋转内缩的曲线上，这条曲线的极径

    r
   
  
  
   r
  
 
r 随着角度的增大逐渐变小，其高度 
 
  
   
    h
   
  
  
   h
  
 
h 逐渐变大。

  因此我们在

    f
   
   
    (
   
   
    x
   
   
    )
   
   
    =
   
   
    
     e
    
    
     
      −
     
     
      x
     
    
   
  
  
   f(x) = e^{-x}
  
 
f(x)=e−x 的基础之上定义了一个递减函数，保证其值域在
 
  
   
    (
   
   
    0
   
   
    ,
   
   
    
     π
    
    
     2
    
   
   
    ]
   
  
  
   (0, \frac {\pi} {2}]
  
 
(0,2π​]，新的函数为：
 
  
   
    
     f
    
    
     (
    
    
     θ
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     
      π
     
     
      2
     
    
    
     
      e
     
     
      
       −
      
      
       θ
      
     
    
   
   
    f(\theta)=\frac {\pi} {2} e^{-\theta}
   
  
 f(θ)=2π​e−θ  其函数图像如下：![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/79b6596d280544a695fe3ba3367a52b4.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBA5aSP5bCP5oKg,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16#pic_center)

  这样定义

    r
   
   
    =
   
   
    s
   
   
    i
   
   
    n
   
   
    (
   
   
    f
   
   
    )
   
   
    ,
   
   
    h
   
   
    =
   
   
    c
   
   
    o
   
   
    s
   
   
    (
   
   
    f
   
   
    )
   
  
  
   r=sin(f), h=cos(f)
  
 
r=sin(f),h=cos(f) 就满足前面对花瓣外边缘曲线的假设了，即 
 
  
   
    r
   
  
  
   r
  
 
r 递减， 
 
  
   
    h
   
  
  
   h
  
 
h 递增。

  现在将其放在三维空间中：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
if __name__ =='__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)# plt.axis('off')
    x = np.linspace(0,1, num=30)
    theta = np.linspace(0,2* np.pi, num=1200)
    theta =30* theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)# f is a decreasing function of theta
    f =0.5* np.pi * np.exp(-theta /50)
    r = x * np.sin(f)
    h = x * np.cos(f)# 极坐标转笛卡尔坐标
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.cool)# plt.savefig('img/polar5.png')
    plt.show()

  笛卡尔坐标系

(Cartesian coordinate system)

，即直角坐标系。

  然而，上述的表达仍然没有得到花瓣的细节，因此我们需要在此基础之上进行处理，以得到花瓣形状。因此设计了一个花瓣函数：

     f
    
    
     (
    
    
     θ
    
    
     )
    
    
     =
    
    
     1
    
    
     −
    
    
     
      
       1
      
      
       −
      
      
       ∣
      
      
       s
      
      
       i
      
      
       n
      
      
       (
      
      
       
        θ
       
       
        2
       
      
      
       )
      
      
       ∣
      
     
     
      2
     
    
   
   
    f(\theta) = 1 - \frac {1 - |sin(\frac {\theta} {2})|} {2}
   
  
 f(θ)=1−21−∣sin(2θ​)∣​  其是一个以 
 
  
   
    2
   
   
    π
   
  
  
   2\pi
  
 
2π 为周期的周期函数，其值域为
 
  
   
    [
   
   
    0.5
   
   
    ,
   
   
    1.0
   
   
    ]
   
  
  
   [0.5, 1.0]
  
 
[0.5,1.0]，图像如下图所示：

  再次绘制：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
if __name__ =='__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)# plt.axis('off')
    x = np.linspace(0,1, num=30)
    theta = np.linspace(0,2* np.pi, num=1200)
    theta =30* theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)# f is a decreasing function of theta
    f =0.5* np.pi * np.exp(-theta /50)# 通过改变函数周期来改变花瓣的形状# 改变值域也可以改变花瓣形状# u is a periodic function
    u =1-(1- np.absolute(np.sin(3.3* theta /2)))/2
    r = x * u * np.sin(f)
    h = x * u * np.cos(f)# 极坐标转笛卡尔坐标
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)# plt.savefig('img/polar6.png')
    plt.show()

4. 花瓣微调

  为了使花瓣更加真实，使花瓣的形态向下凹，因此需要对花瓣的形状进行微调，这里添加一个修正项和一个噪声扰动，修正函数图像为：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
if __name__ =='__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)# plt.axis('off')
    x = np.linspace(0,1, num=30)
    theta = np.linspace(0,2* np.pi, num=1200)
    theta =30* theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)# f is a decreasing function of theta
    f =0.5* np.pi * np.exp(-theta /50)
    noise = np.sin(theta)/30# u is a periodic function
    u =1-(1- np.absolute(np.sin(3.3* theta /2)))/2+ noise
    # y is a correction function
    y =2*(x **2- x)**2* np.sin(f)
    r = u *(x * np.sin(f)+ y * np.cos(f))
    h = u *(x * np.cos(f)- y * np.sin(f))
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)# plt.savefig('img/polar7.png')
    plt.show()

  修正前后图像区别对比如下：

5. 结束语

3D

花的绘制主要原理是极坐标，通过正弦/余弦函数进行旋转变形构造，参数略微变化就会出现不同的花朵，有趣！