本文将总结现代密码学 (Modern Cryptography) 中的常见数学符号, 了解以下预备知识可以极大增加本文的阅读体验:
- 离散数学, 线性代数与概率论三门课程中的主要数学记号及其含义 ?
- 现代密码学是一门什么样的学科 ?
LaTeX \LaTeX LATEX的基本用法与常见数学符号命令有哪些 ?
在阅读密码学相关的论文时会遇到各类符号, 即使有的论文命名法和符号风格不同, 但在符号使用规律上基本都保持一致. 因此, 本文将持续性地总结记录现代密码学中的常见符号和表示法, 方便查阅参考, 并还会结合
LaTeX
\LaTeX
LATEX相关命令给出示例和一些实用技巧.
符号风格
密码学中涉及符号的风格与使用规范遵循一般的数学公式表示规范, 而这些规定通常是约定俗成的. 具体而言有:
- 斜体表示: 如 x , m , n x,m,n x,m,n, X , Y , Z X, Y, Z X,Y,Z等斜体形式通常用于表示变量 (variable), 如第 i i i个正整数是 n n n; 如果遇到斜体加粗, 则一般表示的是某个随机变量或随机样本.
- 正体表示: 如 X , Y \mathsf{X},\mathsf{Y} X,Y等正体形式通常用于表示矩阵或某种变换 (transform).
- 花体表示: E \mathcal{E} E, X \mathcal{X} X等花体形式通常表示集合概念, 因此有时会有 x ∈ X x\in \mathcal{X} x∈X.
- 空心表示: R \mathbb{R} R, Q \mathbb{Q} Q等空心形式通常表示空间, 域等, 这些符号表示的范围通常是比花体和正体表示都要大的.
LaTeX \LaTeX LATEX特殊字体: 在实际的论文写作中，某些特殊符号或者术语样式需要用到 LaTeX \LaTeX LATEX中的各类字体样式命令，常见命令如 ```\textit```, ```\textsf```, ```\texttt```, ```\mathsf```等。 更多信息可以参阅刘海洋老师的《LaTeX入门》第二章.
在了解上述常见符号风格后, 即使在论文中遇到没见过而且作者似乎也没解释的记号, 也可以通过记号的书写风格来结合上下文推测这一记号的大致特点.
主要符号总结
下面我们将从三个方面总结现代密码学中的主要符号, 首先就是最基础也是最常见的各种运算符了.
运算符
二元运算符
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景异或
⊕
\oplus
⊕01串 (或两数) 之间的异或操作
\oplus
One Time Pad连接
∣
∣
||
∣∣顺序连接两个串
||
将两个串拼接后输入一个算法组合作用
∘
\circ
∘两个函数作用的"组合"
\circ
密码理论分析, 白盒密码， 同态代数运算
⋅
\cdot
⋅,
+
+
+(模) 乘, (模) 加
\cdot, +
代数运算, RSA等公钥密码算法移位
<
<
,
>
>
<<,>>
<<,>>将一个数的二进制向左或向右移动若干位
<<,>>
各类算法(如MD5, SM4)的底层运算
概率与取样
在现代密码学涉及的基础知识中, 概率论是很重要的一环. 在密码算法的可证明安全中, 概率论与随机过程的相关知识更是充当了核心角色. 因此,虽然有些符号并非运算符, 但为了方便也将在本处一并进行介绍.
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景采样
←
\leftarrow
←从某一集合中采样出某个样本
\leftarrow
生成某一元素进行后续操作随机采样
←
$
\stackrel{\$}{\leftarrow}
←$从某一集合中随机采样出某个样本
\stackrel{\$}{\leftarrow}
生成随机数概率
P
r
\mathrm{Pr}
Pr计算某一事件的概率
\mathrm{Pr}
衡量可证明安全中的各类事件发生的概率集合
{
⋯
}
\left\{\cdots\right\}
{⋯}离散数学中集合的概念
\left\{\cdots\right\}
各类密码算法与协议概率分布
∼
\sim
∼变量服从概率分布
\sim
基于格的算法与困难问题中的变量分布特征可忽略概率
ϵ
\epsilon
ϵ在安全参数
λ
\lambda
λ的多项式级别下的极小量
\varepsilon
可证明安全的敌手优势说明期望
E
E
E计算某一随机变量或者分布的数学期望
E
基于格的算法证明中的相关计算
当然, 在数学中还有很多其他常见的二元运算符 (例如线性代数, 抽象代数中的一大堆记号), 此处我们只介绍密码学中常用的符号及其在密码学中的用途. 如其他需要补充说明, 欢迎分享你的建议 !
常用记号
除了常用的运算符外, 在阅读各类密码学的论文时, 最令人头疼的想必是各类繁杂的数学记号了. 但好在各个记号在不同论文中的写法基本都是统一的, 只是花样众多, 令人眼烦, 我们通常只需要在第一次遇见的时候记住就可以了.
算法记号
对称密码算法
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景密钥
K
K
K对称密码算法的密钥
K
对称密码算法中双方共享一密钥密钥生成
G
e
n
(
1
λ
)
\mathrm{Gen}(1^{\lambda})
Gen(1λ)根据安全参数
λ
\lambda
λ生成算法密钥
\mathrm{Gen}(1^{\lambda})
许多对称密码算法的第一步加密
E
n
c
\mathsf{Enc}
Enc将明文加密为密文
\mathsf{Enc}
对称加密算法的主要步骤解密
D
e
c
\mathsf{Dec}
Dec将密文解密为明文
\mathsf{Dec}
对称加密算法的主要步骤消息认证码生成
M
a
c
\mathsf{Mac}
Mac根据对称密钥生成某条消息对应的消息认证码
\mathsf{Mac}
HMAC等MAC算法消息认证码验证
V
r
f
y
\mathsf{Vrfy}
Vrfy根据对称密钥验证某个消息认证码是否正确
\mathsf{Vrfy}
HMAC等MAC算法
公钥密码算法
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景公钥
P
k
\mathsf{Pk}
Pk可公开的密钥
\mathsf{Pk}
公钥算法, PKI等私钥
S
k
\mathsf{Sk}
Sk与公钥对应的需要秘密保存的私钥
\mathsf{Sk}
公钥算法密钥生成
G
e
n
(
1
λ
)
\mathsf{Gen}(1^{\lambda})
Gen(1λ)根据安全参数
λ
\lambda
λ生成一对公私钥
\mathsf{Gen}(1^{\lambda})
公钥算法公钥加密
E
n
c
(
P
k
,
⋅
)
\mathsf{Enc}(\mathsf{Pk}, \cdot)
Enc(Pk,⋅)计算某一事件的概率
\mathrm{Pr}
加密只有私钥拥有方才能解密的信息私钥解密
D
e
c
(
S
k
,
⋅
)
\mathsf{Dec}(\mathsf{Sk}, \cdot)
Dec(Sk,⋅)离散数学中集合的概念
\left\{\cdots\right\}
略私钥签名
S
i
g
n
(
S
k
,
⋅
)
\mathsf{Sign}(\mathsf{Sk}, \cdot)
Sign(Sk,⋅)在安全参数
λ
\lambda
λ的多项式级别下的极小量
\varepsilon
可证明安全的敌手优势说明公钥验签
V
r
f
y
(
P
k
,
⋅
)
\mathsf{Vrfy}(\mathsf{Pk}, \cdot)
Vrfy(Pk,⋅)在安全参数
λ
\lambda
λ的多项式级别下的极小量
\varepsilon
略采样函数
S
a
m
p
\mathsf{Samp}
Samp均匀选取集合中的元素
\mathsf{Samp}
单向置换逆置换
I
n
v
\mathsf{Inv}
Inv拥有陷门信息后的高效逆置换算法
\mathsf{Inv}
基于陷门置换的公钥加密
值得一提的是, 公钥算法发展至今有很多种类, 也有很多高阶方案, 如门限加密, 秘密共享, 同态加密, 可搜索加密和函数加密等等. 不同的高阶方案也衍生出了各自的算法符号范式, 诸如
T
r
a
p
\mathsf{Trap}
Trap,
I
n
d
e
x
\mathsf{Index}
Index等等. 由于这些零散记号和方案本身的特点紧密相关, 并非是公钥方案的共性操作. 故此处就不作进一步介绍.
密码学哈希
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景计算哈希摘要
H
H
H从某一集合中采样出某个样本
\leftarrow
生成某一元素进行后续操作带密钥的哈希
H
(
K
,
⋅
)
H(K, \cdot)
H(K,⋅),
H
K
(
⋅
)
H_{K}(\cdot)
HK(⋅)从某一集合中随机采样出某个样本
H(K, \cdot), H_{K}(\cdot)
HMAC
模糊提取器
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令初始化
i
n
i
t
(
1
λ
)
\mathsf{init}(1^{\lambda})
init(1λ)生成公开模糊提取器的公开参数
p
p
\mathsf{pp}
pp
\mathsf{init}(1^{\lambda})
生成字符串
G
e
n
(
p
p
,
w
;
r
)
\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})
Gen(pp,w;r)根据
p
p
\mathsf{pp}
pp,元素
w
\mathsf{w}
w与随机性
r
\mathsf{r}
r生成字符串
R
R
R与公开的帮助字符串
P
P
P
\mathsf{Gen}(\mathsf{pp,w;r})
提取字符串
R
e
p
(
p
p
,
w
′
;
P
)
\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P)
Rep(pp,w′;P)根据
p
p
\mathsf{pp}
pp,相近元素
w
′
\mathsf{w\prime}
w′与帮助字符串
P
P
P还原字符串
R
R
R
\mathsf{Rep}(\mathsf{pp,w\prime;}P)
哈希证明系统
一般的哈希证明系统通常是一个非交互的零知识系统, 此处主要指的是Smooth Projective Hash Proof System (SPHFs)
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令生成哈希密钥
H
a
s
h
K
G
(
p
p
)
\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})
HashKG(pp)根据语言系统的参数
p
p
\mathsf{pp}
pp生成哈希密钥
h
k
hk
hk
\mathsf{HashKG}(\mathsf{pp})
派生投影密钥
P
r
o
j
K
G
(
h
k
,
p
p
,
x
)
\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)
ProjKG(hk,pp,x)根据语言
x
x
x,
p
p
\mathsf{pp}
pp与哈希密钥
h
k
hk
hk派生出投影密钥
h
p
hp
hp
\mathsf{ProjKG}(hk,\mathsf{pp},x)
计算哈希
H
a
s
h
(
h
k
,
p
p
,
x
)
\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)
Hash(hk,pp,x)根据语言
x
x
x,
p
p
\mathsf{pp}
pp与哈希密钥
h
k
hk
hk计算哈希值
H
H
H
\mathsf{Hash}(hk,\mathsf{pp},x)
计算投影哈希
P
r
o
j
H
a
s
h
(
h
p
,
p
p
,
x
,
w
)
\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w)
ProjHash(hp,pp,x,w)根据语言
x
x
x,
p
p
\mathsf{pp}
pp与派生密钥
h
p
hp
hp和一个证据
w
w
w计算出投影哈希值
p
H
pH
pH
\mathsf{ProjHash}(hp,\mathsf{pp},x,w)
可证明安全记号
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景敌手
A
\mathcal{A}
A可证明安全中试图解决攻破方案的假想攻击者
\mathcal{A}
A
\mathcal{A}
A 尝试攻破加密算法的不可区分性挑战者
C
\mathcal{C}
C可证明安全中试图解决困难问题的挑战者
\mathcal{C}
C
\mathcal{C}
C 尝试解决大整数分解问题Oracle
O
\mathcal{O}
O经抽象后的证明过程中可被查询的预言机
\mathcal{O}
算法的加解密部分被抽象为了
O
\mathcal{O}
O供
A
\mathcal{A}
A或
C
\mathcal{C}
C提交明密文查询标志
b
a
d
\mathsf{bad}
bad用来指示证明过程中某些事件的发生
\mathsf{bad}
当加密得到的密文产生了碰撞时, 是一个
b
a
d
\mathsf{bad}
bad事件证明游戏
G
a
m
e
\mathsf{Game}
Game为安全性证明定义的挑战者与敌手的交互模型
\mathsf{Game}
定义
A
\mathcal{A}
A与
O
\mathcal{O}
O的若干次选择明文查询是一个
G
a
m
e
\mathsf{Game}
Game
其他常用符号
在密码算法中还有一些常用的符号, 如对字符串数据的一些操作. 如有其他常用符号也欢迎大家补充.
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令使用情景字符串长度
∣
s
∣
|s|
∣s∣得到字符串
s
s
s的长度
\left|s\right|
密码算法输入全0字符串
0
n
0^{n}
0n
n
n
n-bit 长的全0字符串
0^{n}
略全1字符串
1
n
1^{n}
1n
n
n
n-bit 长的全1字符串
1^{n}
略字符串分块
∣
∣
s
∣
∣
l
||s||_{l}
∣∣s∣∣l将字符串
s
s
s分为
l
l
l块, 每块长度为
⌈
∣
s
∣
l
⌉
\lceil \frac{|s|}{l} \rceil
⌈l∣s∣⌉ bit
||s||_{l}
对分组算法中的每一块进行加解密
量子密码算法符号
在量子密码算法中会涉及很多量子力学的操作与符号, 而这些符号其实都遵循着狄拉克记号法, 也就是所谓的Bra-ket notation. 不过在我们第一次遇到量子密码算法时, 看到这些符号依然会头大, 下面初步总结了一些常用记号方便检索.
注意, 量子密码算法都是在一个或若干个希尔伯特空间 (
H
\mathcal{H}
H) 中的, 此时算法的状态会被抽象为一个
H
\mathcal{H}
H中的状态矢量
ψ
\psi
ψ, 因此这部分的操作与符号有些和线性代数也是通用的.
名称符号含义
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令右矢
∣
ψ
⟩
|\psi \rangle
∣ψ⟩可理解为线性空间中的某个向量
| \psi \rangle
左矢
⟨
ψ
∣
\langle \psi |
⟨ψ∣某个右矢对应的共轭矢量
\langle \psi |
矢量间的内积
⟨
a
∣
b
⟩
\langle a | b \rangle
⟨a∣b⟩两矢量间进行内积运算
\langle a | b \rangle
矢量间的外积
∣
a
⟩
⟨
b
∣
|a\rangle \langle b |
∣a⟩⟨b∣两矢量间进行外积运算
|a\rangle \langle b |
张量积
⊗
\otimes
⊗希尔伯特空间的张量积, 如
H
1
⊗
H
2
\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}
H1⊗H2形成一个组合系统
\otimes
共轭转置
U
†
U^{\dag}
U†矩阵的共轭转置, 被用来描述
H
\mathcal{H}
H上的幺正变换
U^{\dag}
概率坍缩
∣
⟨
a
∣
ψ
⟩
∣
2
|\langle a | \psi \rangle|^{2}
∣⟨a∣ψ⟩∣2经过某一量子系统变换后, 从叠加态
ψ
\psi
ψ观测到状态
a
a
a的概率
|\langle a | \psi \rangle|^{2}
状态叠加
∑
∣
a
i
⟩
\sum |a_{i}\rangle
∑∣ai⟩将若干个状态
∣
a
i
⟩
|a_{i}\rangle
∣ai⟩进行叠加得到叠加态
\sum |a_{i}\rangle
量子Oracle变换
O
∣
x
⟩
\mathbf{O}|x\rangle
O∣x⟩在量子Oracle中对矢量
∣
x
⟩
|x\rangle
∣x⟩进行变换得到
∣
x
+
O
(
x
)
⟩
|x+O(x)\rangle
∣x+O(x)⟩
\mathbf{O}|x\rangle
由于我对量子力学的相关概念也不是非常熟悉, 上述记号如有错误欢迎大家指出, 也欢迎大家补充其他常见的量子密码方案记号.
LaTeX宏包 cryptocode 的使用
cryptocode是一个专门为了密码学研究者提供的
LaTeX
\LaTeX
LATEX宏包, 而且这一宏包已经默认加入了texlive2022中, 使用时无需额外安装, 只需要
\usepackage[your_options]{cryptocode}
就能引入. 而且这个宏包的文档非常全面, 基本可以做到即查即用. 这里就拾人牙慧, 简单介绍几个最常用的命令.
常用符号
上文提到的很多运算符号, 其实已经都在cryptocode中封装好了, 尤其是一些呈现方式简单, 但
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令复杂的运算, 可以用cryptocode提供的更容易记忆和使用的短命令.
名称cryptocode命令等价
LaTeX
\LaTeX
LATEX命令随机采样
\sample
\leftarrow
标志
\bad
\mathsf{bad}
0-1集合
\bin
\left\{0, 1\right\}
概率
\prob
\mathsf{Pr}
敌手优势
\advantage
\mathsf{Adv}
密钥生成
\kgen
\mathsf{KGen}
上述这些符号只是cryptocode封装的很小一部分, 官方说明文档中会有更多描述.
算法
在密码学论文中, 除了那些常见符号外, 还会需要用
LaTeX
\LaTeX
LATEX的
algorithm
环境呈现算法方案. 而在cryptocode中则可以直接用
procedureblock
, 效果如下图所示.
而对应的
LaTeX
\LaTeX
LATEX代码也更为简洁, 无需像原来
algorithm
包那样写过多不必要的关键字.
\procedureblock {$\indcpa_\enc^\adv(\secpar)$}{
b \sample \ bin \\
(\pk, \sk) \sample \kgen(\secparam) \\
(m_0, m_1) \sample \adv(\secparam ,\pk, c)\\
c \sample \enc(\pk ,m_b)\\
b' \sample \adv(\secparam, \pk, c)\\
\pcreturn b = b’
}
Game-based 安全证明
一篇理论密码方案论文的核心就是它的安全性证明了, 而在写一些game-based proof 时, 我们常常需要借助
b
a
d
\mathsf{bad}
bad 等符号标注出一个game里有利于敌手的那些事件. 要表达这样一件事, 一般需借助
table
环境以及一些文本样式命令. 然而, cryptocode也提供了这方面的封装, 如下图所示.
此外, 除了最基本的这种game-based proof外, 它还提供了game hopping, reduction等的命令封装, 这能极大地减少密码学研究者在撰写论文时的麻烦.
密码协议
在密码学中还有很多协议（Protocol）相关的工作，而对于我个人而言，通过drawio等工具画协议图还是有些繁琐了，而且如果数学公式较多的话在校对和排版上都存在着不少缺陷; 而原生tikz的作图效果很漂亮，但学习和使用成本太高。
而在cryptocode中，可以同样使用
procedureblock
命令与缩进指令 (tabbing)
\>
方便地通呈现一个密码协议，如下图所示。
总结
本文总结了传统密码学与量子密码方案中的常见记号与对应的
LaTeX
\LaTeX
LATEX代码, 以缓解记忆密码学论文中繁琐符号含义所带来的烦躁心情🤡. 本文内容也将会动态更新, 在后续的学习过程中会不断添加新遇到的各类记号, 也欢迎大家分享和指正. 文章所在的专栏 包括了其他密码学相关的文章, 欢迎阅读并给出意见! 最后以一句歌词作为结束.
“你让任务如期完成并划下记号, 现在或悠悠闲闲带爱子散步” ——李克勤《再见穿梭机》
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