门限密码系统
1. 定义
门限密码系统由分布式密钥生成算法、加密算法、门限解密算法三部分构成，定义如下：
（1）分布式密钥生成：这是一个由参与者共同生成公钥
yyy的协议，协议运行结束后，每个参与者将获得一个关于私钥xxx的碎片、对应于该碎片的公钥密钥yiy_iyi，以及与私钥xxx相对应的公钥yyy。
（2）加密算法：该算法的输入为公钥
yyy和待加密的消息mmm，其输出为在公钥yyy下明文mmm对应的密文ccc。
（3）门限解密: 这是一个由任意
ttt个参与者Pi1′,Pi2′,…,PitP_{i_1^{\prime}}, P_{i_2^{\prime}}, \ldots, P_{i_{t}}Pi1′,Pi2′,…,Pit 运行的协议, 对于给定输人密文ccc 、ttt个公开验证密钥hi1′,hi2′,…,hith_{i_1^{\prime}},h_{i_2^{\prime}}, \ldots, h_{i_{t}}hi1′,hi2′,…,hit 以及ttt 个碎片xi1′xi2′,…,xitx_{i_1^{\prime}} x_{i_2^{\prime}}, \ldots, x_{i_{t}}xi1′xi2′,…,xit, 协议运行结束后将输出 密文ccc 和对应的明文mmm 。
2. 分布式ElGamal加密
系统参数:
p、qp、qp、q是大素数, 且q/p−1q / p-1q/p−1, 满足ZpZ_{p}Zp中离散对数问题是难解的,ggg 是Zp∗Z_{p}^{*}Zp∗的本原元,MMM 为明文消息。nnn个参与者P1,P2,…,PnP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}P1,P2,…,Pn分别选取一个随机数xi∈Zp,i=1,2,…,nx_{i} \in Z_{p},i=1,2, \ldots, nxi∈Zp,i=1,2,…,n 计算yi=gximodpy_{i}= g^{x_{i}} \bmod pyi=gximodp并公布。
私钥:
x=∑i=1nximodpx=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \bmod px=i=1∑nximodp**公钥**:y=∏i=1nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodpy=\prod_{i=1}^{n} y_{i} \bmod p=g^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} \bmod p = g^x \bmod py=i=1∏nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodp
加密: 选取随机数
r∈Zpr \in Z_{p}r∈Zp, 计算E(M)=(α,β)=(grmodp,yrMmodp)E(M)=(\alpha, \beta) = (g^{r} \bmod p, y^{r} M \bmod p)E(M)=(α,β)=(grmodp,yrMmodp)**解密**:nnn个参与者首先分别计算αximodp\alpha^{x_{i}}\bmod pαximodp并公布, 然后共同计算出∏i=1nαxi\prod_{i=1}^{n} \alpha^{x^{i}}∏i=1nαxi, 从而解出MMM:M=β∏i=1nαximodp=βα∑i=1nximodp=βαxmodpM=\frac{\beta}{\prod_{i=1}^{n} \alpha^{x^{i}}} \bmod p =\frac{\beta}{\alpha^{\sum_{i=1}^{n} x^{i}}} \bmod p =\frac{\beta}{\alpha^x} \bmod pM=∏i=1nαxiβmodp=α∑i=1nxiβmodp=αxβmodp
推广
令消息
M=M1M2⋯MnM=M_{1} M_{2} \cdots M_{n}M=M1M2⋯Mn,nnn个参与者P1,P2,…,PnP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}P1,P2,…,Pn分别对消息M1,M2,…,MnM_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}M1,M2,…,Mn 加密。
系统参数:
p、qp、qp、q是大素数, 且q/p−1q / p-1q/p−1, 满足ZpZ_{p}Zp中离散对数问题是难解的,ggg 是Zp∗Z_{p}^{*}Zp∗的本原元,MMM 为明文消息。
利用分布式 ElGamal 加密方式产生私钥/公钥对：
nnn个参与者分别选取一个随机数xi∈Zp,i=1,2,…,nx_{i}\in Z_{p},i=1,2, \ldots,nxi∈Zp,i=1,2,…,n 计算yi=gximodpy_{i}=g^{x_{i}} \bmod pyi=gximodp 并公布。
私钥:
x=∑i=1nximodpx=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \bmod px=i=1∑nximodp**公钥**:y=∏i=1nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodpy=\prod_{i=1}^{n} y_{i} \bmod p=g^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} \bmod p = g^x \bmod py=i=1∏nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodp
加密:
nnn个参与者分别选取随机数r1,r2,…,rn∈Zpr_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} \in Z_{p}r1,r2,…,rn∈Zp, 对消息MiM_{i}Mi 加密E(Mi)=(αi,βi)=(grimodp,yriMimodp)E\left(M_{i}\right)= \left(\alpha_i ,\beta_i\right) =(g^{r_{i}} \bmod p, y^{r_{i}} M_{i} \bmod p)E(Mi)=(αi,βi)=(grimodp,yriMimodp)
根据同态性计算
E(M)=E(M1M2⋯Mn)=E(M1)E(M2)⋯E(Mn)=(α,β)E(M)=E\left(M_{1} M_{2} \cdots M_{n}\right)= E(M_{1})E(M_{2}) \cdots E(M_{n})= (\alpha, \beta)E(M)=E(M1M2⋯Mn)=E(M1)E(M2)⋯E(Mn)=(α,β)其中，α=∏i=1nαi=g∑i=1nrimodp,β=∏i=1nβi=y∑i=1nriMmodp\alpha=\prod_{i=1}^{n} \alpha_{i}=g^{\sum_{i=1}^{n} r_{i}} \bmod p,\beta = \prod_{i=1}^{n} \beta_{i}=y^{\sum_{i=1}^{n} r_{i}} M \bmod pα=i=1∏nαi=g∑i=1nrimodp,β=i=1∏nβi=y∑i=1nriMmodp
解密:
nnn 个参与者首先分别计算αximodp\alpha^{x_{i}} \bmod pαximodp 并公布, 来共同计算出∏i=1nαxi\prod_{i=1}^{n} \alpha^{x_{i}}∏i=1nαxi, 从而解出MMM:M=β∏i=1nαximodpβα∑i=1nximodp=βαxmodp\quad M=\frac{\beta}{\prod_{i=1}^{n} \alpha^{x_{i}}} \bmod p \frac{\beta}{\alpha^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}} \bmod p=\frac{\beta}{\alpha^x} \bmod pM=∏i=1nαxiβmodpα∑i=1nxiβmodp=αxβmodp
3.有可信中心的门限ElGamal密码
(1) 分布式密钥生成
可信中心产生一个密钥
xxx, 对应的公钥为y=gxmodpy=g^{x} \bmod py=gxmodp，使用(t,n)(t, n)(t,n) 门限方案在协议参与者中分享私钥xxx : 选择随机多项式f(u)=at−1ut−1+…+a2u2+a1u+a0∈GF(q)[u]f(u)=a_{t-1} u^{t-1}+\ldots+a_{2} u^{2}+ a_{1} u+a_{0} \in G F(q)[u]f(u)=at−1ut−1+…+a2u2+a1u+a0∈GF(q)[u]PiP_{i}Pi 得到xi=f(ui),i=1,2,…,nx_{i}=f\left(u_{i}\right), i=1,2, \ldots, nxi=f(ui),i=1,2,…,n 。
(2) 加密
选取随机数
k∈Zpk \in Z_{p}k∈Zp计算：E(M)=(α,β)=(gkmodp,ykMmodp)E(M)=(\alpha, \beta)= (g^{k} \bmod p, y^{k} M \bmod p)E(M)=(α,β)=(gkmodp,ykMmodp)
(3) 解密
PiP_{i}Pi 计算αi=αxi\alpha_{i}=\alpha^{x_{i}}αi=αxi并公布, 同时公布一个零知识证明以证明其计算的正确性;
每个协议参与者从公布的计算结果中选择
ttt 个αi1,αi2,…,αit\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_t}αi1,αi2,…,αit, 则M=βαx=β∏s=1tαisλisM=\frac{\beta}{\alpha^{x}}=\frac{\beta}{\prod_{s=1}^{t} \alpha_{i_s}^{\lambda_{i_s}}}M=αxβ=∏s=1tαisλisβλis\lambda_{i_s}λis 为 Lagrange 揷值系数, 满足x=λi1xi1+⋯+λitxitx=\lambda_{i_1} x_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_t} x_{i_t}x=λi1xi1+⋯+λitxit .
有可信中的门限ElGamal密码不能算严格意义上的门限密码，存在第三方可心中，参加密钥分享的用户必须完全信任分发者，相信其不会对加密数据执行解密操作。
4. 无可信中心的门限ElGamal密码
（1）分布式密钥生成
每个参与者
PiP_{i}Pi 选择择随机数xix_{i}xi 作为私钥, 计算yi=gximodpy_{i}=g^{x_{i}} \bmod pyi=gximodp, 并公布;
每个参与者收到广播的值后, 计算公钥:
y=∏i=1nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodpy=\prod_{i=1}^{n} y_{i} \bmod p=g^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} \bmod p = g^x \bmod py=i=1∏nyimodp=g∑i=1nximodp=gxmodp每个参与者PiP_{i}Pi以秘密分发者身份执行 Feldman 的 VSS 方案, 在P1,P2,…,PnP_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}P1,P2,…,Pn 之间分享秘密xix_{i}xi : 选择t−1t-1t−1 次随机多项式,fi(u)=ai,t−1ut−1+…+ai2u2+ai1u+aio∈GF(q)[u]f_{i}(u)=a_{i, t-1} u^{t-1}+\ldots+a_{i 2} u^{2}+a_{i 1} u+a_{i o} \in G F(q)[u]fi(u)=ai,t−1ut−1+…+ai2u2+ai1u+aio∈GF(q)[u]其中xi=ai0=fi(0)x_{i}=a_{i 0}=f_{i}(0)xi=ai0=fi(0)PiP_{i}Pi 计算xij=fi(uj)x_{i j}=f_{i}\left(u_{j}\right)xij=fi(uj) , 发送给Pj,j=1,2…,nP_{j}, j=1,2 \ldots, nPj,j=1,2…,n ;PjP_{j}Pj 收到其他参与者的值xij=fi(uj),i=1,2…,nx_{i j}=f_{i}\left(u_{j}\right), i=1,2 \ldots, nxij=fi(uj),i=1,2…,n, 计算sj=∑i=1nxij=∑i=1nfi(uj)s_{j}=\sum_{i=1}^{n} x_{i j}=\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(u_{j}\right)sj=∑i=1nxij=∑i=1nfi(uj) 作为自己最终分享得到的关于私钥xxx的秘密碎片, 其验证公钥为yj=gsjmodp=g∑i=1nxijmodpy_{j}=g^{s_{j}} \bmod p=g^{\sum_{i=1}^{n} x_{i j}} \bmod pyj=gsjmodp=g∑i=1nxijmodp**(2) 加密**
选取随机数
k∈Zpk \in Z_{p}k∈Zp,计算E(M)=(α,β)=(gkmodp,ykMmodp)E(M)=(\alpha, \beta) =(g^{k} \bmod p, y^{k} M \bmod p)E(M)=(α,β)=(gkmodp,ykMmodp)**(3) 门限解密**
每个参与者
PiP_{i}Pi 计算αi=αsi\alpha_{i}=\alpha^{s_{i}}αi=αsi , 并公布. 同时公布一个零知识证明以证明其计算的正确性;
每个协议参与者从公布的计算结果中选择
ttt 个αi1,αi2,…,αit\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_t}αi1,αi2,…,αit, 则M=βαx=β∏s=1tαisλisM=\frac{\beta}{\alpha^{x}}=\frac{\beta}{\prod_{s=1}^{t} \alpha_{i_s}^{\lambda_{i_s}}}M=αxβ=∏s=1tαisλisβλis\lambda_{i_s}λis 为 Lagrange 揷值系数, 满足x=λi1si1+⋯+λitsitx=\lambda_{i_1} s_{i_1}+\cdots+\lambda_{i_t} s_{i_t}x=λi1si1+⋯+λitsit .
本文转载自: https://blog.csdn.net/apr15/article/details/128943155
版权归原作者 机器学习Zero 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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