算法设计与分析：世界名画陈列馆问题（可重复监视） (回溯法 & 分支限界法)

世界名画陈列馆问题

Description:

世界名画陈列馆由m´n个排列成矩形阵列的陈列室组成。为了防止名画被盗，需要在陈列室中设置警卫机器人哨位。每个警卫机器人除了监视它所在的陈列室外，还可以监视与它所在的陈列室相邻的上、下、左、右4 个陈列室。试设计一个安排警卫机器人哨位的算法，
使得名画陈列馆中每一个陈列室都在警卫机器人的监视之下，且所用的警卫机器人数最少。

设计一个优先队列式分支限界法，计算警卫机器人的最佳哨位安排，使得名画陈列馆中每一个陈列室都在警卫机器人的监视之下，且所用的警卫机器人数最少。

Input:

第一行有2 个正整数m和n (1≤m,n≤20)

Output:

将计算出的警卫机器人数及其最佳哨位安排输出。第一行是警卫机器人数；接下来的m行中每行n个数，0 表示无哨位，1 表示哨位。

Sample Input:

4 4

Copy

Sample Output:

4
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0

！！！在各大OJ都提交了，均为超时，不是AC代码。仅作为学习参考。！！！

当y[i][j+1]==1时，以q为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解，

当y[i][j+1]==1且y[i][j+2]==1时，以r为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解。

搜索时应按照p、q、r或p、r、q的顺序来扩展结点。

剪枝策略:

1. 放置的机器人个数不会超过n*m/3+1个(按每个机器人仅辐射左右或上下考虑，堆叠这样的小长条可得)。以n*m/3+2为初始最优值，当放置的个数超过当前最优值时，剪去。
2. (当前最优值ans-当前已放置个数p)5（最多能增加5个监视点）。如果小于未监视的格点数（nm-spys），则一定达不到比当前最优值更好的情况，剪去。

回溯法：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int n,m,f[5][2]={{0,0},{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}}; //自己本身+上下左右 
int anx[30][30],ans; //最优结果 ans-警卫个数 anx-警卫位置 
int put[30][30],p; //暂时存储 p-警卫个数 put-警卫位置 
int spy[30][30],spys; //spy-被监视的展柜位置 spys-被监视的展柜个数 

void puta(int x,int y,int p,int q);
void search(int i,int j)
{
    if(p>=ans) return;
    while(i<=n&&spy[i][j]) //已放置的不再被搜索
    {
        j++;
        if(j>m)    i++,j=1; //换行 
    }
    if(i>n) //更新答案
    {
        ans=p;
        memcpy(anx, put, sizeof(put)); //把put内容复制给anx 
        return;
    }

    //剪枝
    if((ans-p)*5<=n*m-spys) return;

    if(i<n) puta(i+1,j,i,j);
    if(spy[i][j+1]==0) puta(i,j,i,j);
    if(j<m&&(spy[i][j+1]==0||spy[i][j+2]==0)) puta(i,j+1,i,j);
}

void puta(int x,int y,int c,int d)
{
    put[x][y]=1;
    p++;
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        int xx=x+f[i][0];
        int yy=y+f[i][1];
        spy[xx][yy]++;
        if(spy[xx][yy]==1) spys++;
    }

    search(c,d+1);

    put[x][y] = 0;
    p--;
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        int xx=x+f[i][0];
        int yy=y+f[i][1];
        spy[xx][yy]--;
        if(spy[xx][yy]==0) spys--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ans=n*m/3+2;
    p=0;
    //设置边界 
    for(int i=0;i<=n+1;i++)
    spy[i][0]=spy[i][m+1]=1;
    for(int i=0;i<=m+1;i++)
    spy[0][i]=spy[n+1][i]=1;
        
    search(1,1);

    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            printf("%d ",anx[i][j]);
        printf("\n");
    }        
}

分支限界法：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,f[5][2]={{0,0},{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}}; //自己本身+上下左右 
int anx[30][30],ans; //最优结果 ans-警卫个数 anx-警卫位置 

struct Node{
    int pu[30][30];//pu-警卫位置 
    int spy[30][30]; //spy-被监视的展柜位置
    int i,j,k,t; //(i,j)为当前坐标 k-警卫数 t-被监视的展柜个数 
};

struct cmp //重写比较函数
{
    bool operator() (Node a, Node b)
    {
        return a.t > b.t; //小顶堆
    }
};
//priority_queue<Node> q; //优先队列 
priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> q;
Node init(Node node)
{
    memset(node.pu,0,sizeof(node.pu)); 
    memset(node.spy,0,sizeof(node.spy)); 
    node.i=1;node.j=1;
    node.k=0;node.t=0;
    for(int i=0;i<=n+1;i++)node.spy[i][0]=node.spy[i][m+1]=1;
    for(int i=0;i<=m+1;i++)node.spy[0][i]=node.spy[n+1][i]=1;
    return node;
}
void puta(Node p,int x,int y)
{
    Node node;
    node=init(node);
    node.i=p.i;
    node.j=p.j;
    node.k=p.k+1;
    node.t=p.t;
    memcpy(node.pu, p.pu, sizeof(p.pu));
    memcpy(node.spy, p.spy, sizeof(p.spy));
    node.pu[x][y]=1;
    for(int d=0;d<5;d++)
    {
        int xx=x+f[d][0];
        int yy=y+f[d][1];
        node.spy[xx][yy]++;
        if(node.spy[xx][yy]==1) 
        {
            node.t++;
        }
    }
    while(node.i<=n&&node.spy[node.i][node.j]) //已放置的不再被搜索
    {
        node.j++;
        if(node.j>m)node.i++,node.j=1; //换行 
    }
    q.push(node);
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ans=n*m/3+2;
    Node node;
    node=init(node);
    q.push(node);
    while(!q.empty())//队列非空 
    {
        Node p=q.top();
        q.pop();
        if(p.t>=n*m)
        {
            if(p.k<ans)
            {
                ans=p.k;
                memcpy(anx, p.pu, sizeof(p.pu)); //把put内容复制给anx 
            }    
        }
        else
        {
            if(p.i<n) puta(p,p.i+1,p.j);
            if((p.i==n&&p.j==m)||p.spy[p.i][p.j+1]==0) puta(p,p.i,p.j);
            if(p.j<m&&(p.spy[p.i][p.j+1]==0||p.spy[p.i][p.j+2]==0)) puta(p,p.i,p.j+1);
        }
            
    }
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            printf("%d ",anx[i][j]);
        printf("\n");
    }    
}