0
0

如果R是唯一析因整环，那么R[x]也是唯一析因整环

【定义1】商域

如果 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是整环，那么则 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      R 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     R 
  18.    
  19.   
  20. R上的商域 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       K 
  27.      
  28.     
  29.       R 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     K_{R} 
  35.    
  36.   
  37. KR​定义为
  40.   
  41.    
  42.     
  43.      
  44.      
  45.        K 
  46.       
  47.      
  48.        R 
  49.       
  50.      
  51.     
  52.       = 
  53.      
  54.      
  55.      
  56.        { 
  57.       
  58.       
  59.       
  60.         a 
  61.        
  62.       
  63.         b 
  64.        
  65.       
  66.      
  67.        ∣ 
  68.       
  69.      
  70.        a 
  71.       
  72.      
  73.        , 
  74.       
  75.      
  76.        b 
  77.       
  78.      
  79.        ∈ 
  80.       
  81.      
  82.        R 
  83.       
  84.      
  85.        , 
  86.       
  87.      
  88.        b 
  89.       
  90.      
  91.        ≠ 
  92.       
  93.      
  94.        0 
  95.       
  96.      
  97.        } 
  98.       
  99.      
  100.     
  101.    
  102.      K_{R} = \left\{ \frac{a}{b}|a,b \in R,b \neq 0 \right\} 
  103.     
  104.    
  105.  KR​={ba​∣a,b∈R,b=0}

其中

  1.        a 
  2.       
  3.      
  4.        b 
  5.       
  6.      
  7.     
  8.       = 
  9.      
  10.      
  11.       
  12.       
  13.         a 
  14.        
  15.        
  16.         
  17.        
  18.          ′ 
  19.         
  20.        
  21.       
  22.       
  23.       
  24.         b 
  25.        
  26.        
  27.         
  28.        
  29.          ′ 
  30.         
  31.        
  32.       
  33.      
  34.     
  35.       ∈ 
  36.      
  37.      
  38.      
  39.        K 
  40.       
  41.      
  42.        R 
  43.       
  44.      
  45.     
  46.       ⇔ 
  47.      
  48.     
  49.       a 
  50.      
  51.      
  52.      
  53.        b 
  54.       
  55.       
  56.        
  57.       
  58.         ′ 
  59.        
  60.       
  61.      
  62.     
  63.       = 
  64.      
  65.      
  66.      
  67.        a 
  68.       
  69.       
  70.        
  71.       
  72.         ′ 
  73.        
  74.       
  75.      
  76.     
  77.       b 
  78.      
  79.     
  80.       ∈ 
  81.      
  82.     
  83.       R 
  84.      
  85.     
  86.    
  87.      \frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{b^{'}} \in K_{R} \Leftrightarrow ab^{'} = a^{'}b \in R 
  88.     
  89.    
  90.  ba​=b′a′​∈KR​⇔ab′=a′b∈R

域 

  1.       K 
  2.      
  3.     
  4.       R 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     K_{R} 
  10.    
  11.   
  12. KR​中的 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.    
  17.      + 
  18.     
  19.    
  20.      、 
  21.     
  22.    
  23.      × 
  24.     
  25.    
  26.   
  27.     + 、 \times 
  28.    
  29.   
  30. +、×按照下面方式进行
  33.   
  34.    
  35.     
  36.      
  37.      
  38.        a 
  39.       
  40.      
  41.        b 
  42.       
  43.      
  44.     
  45.       + 
  46.      
  47.      
  48.      
  49.        c 
  50.       
  51.      
  52.        d 
  53.       
  54.      
  55.     
  56.       = 
  57.      
  58.      
  59.       
  60.       
  61.         a 
  62.        
  63.       
  64.         d 
  65.        
  66.       
  67.         + 
  68.        
  69.       
  70.         b 
  71.        
  72.       
  73.         c 
  74.        
  75.       
  76.       
  77.       
  78.         b 
  79.        
  80.       
  81.         d 
  82.        
  83.       
  84.      
  85.     
  86.                    
  87.      
  88.      
  89.      
  90.        a 
  91.       
  92.      
  93.        b 
  94.       
  95.      
  96.     
  97.       × 
  98.      
  99.      
  100.      
  101.        c 
  102.       
  103.      
  104.        d 
  105.       
  106.      
  107.     
  108.       = 
  109.      
  110.      
  111.       
  112.       
  113.         a 
  114.        
  115.       
  116.         c 
  117.        
  118.       
  119.       
  120.       
  121.         b 
  122.        
  123.       
  124.         d 
  125.        
  126.       
  127.      
  128.     
  129.    
  130.      \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} 
  131.     
  132.    
  133.  ba​+dc​=bdad+bc​            ba​×dc​=bdac​

负元、逆元定义如下

  1.       − 
  2.      
  3.      
  4.      
  5.        a 
  6.       
  7.      
  8.        b 
  9.       
  10.      
  11.     
  12.       = 
  13.      
  14.      
  15.       
  16.       
  17.         − 
  18.        
  19.       
  20.         a 
  21.        
  22.       
  23.      
  24.        b 
  25.       
  26.      
  27.     
  28.                    
  29.      
  30.      
  31.       
  32.       
  33.         ( 
  34.        
  35.        
  36.        
  37.          a 
  38.         
  39.        
  40.          b 
  41.         
  42.        
  43.       
  44.         ) 
  45.        
  46.       
  47.       
  48.       
  49.         − 
  50.        
  51.       
  52.         1 
  53.        
  54.       
  55.      
  56.     
  57.       = 
  58.      
  59.      
  60.      
  61.        b 
  62.       
  63.      
  64.        a 
  65.       
  66.      
  67.     
  68.    
  69.      - \frac{a}{b} = \frac{- a}{b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \frac{a}{b} \right)^{- 1} = \frac{b}{a} 
  70.     
  71.    
  72.  −ba​=b−a​            (ba​)−1=ab​

【定义2】环同态

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是整环，可按照下面方式，建立从 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      R 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     R 
  18.    
  19.   
  20. R到商域 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       K 
  27.      
  28.     
  29.       R 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     K_{R} 
  35.    
  36.   
  37. KR​的环同态
  40.   
  41.    
  42.     
  43.     
  44.       φ 
  45.      
  46.     
  47.       : 
  48.      
  49.     
  50.       R 
  51.      
  52.     
  53.       → 
  54.      
  55.      
  56.      
  57.        K 
  58.       
  59.      
  60.        R 
  61.       
  62.      
  63.     
  64.       , 
  65.      
  66.     
  67.         
  68.      
  69.     
  70.       φ 
  71.      
  72.     
  73.       ( 
  74.      
  75.     
  76.       r 
  77.      
  78.     
  79.       ) 
  80.      
  81.     
  82.       = 
  83.      
  84.      
  85.      
  86.        r 
  87.       
  88.      
  89.        1 
  90.       
  91.      
  92.     
  93.       , 
  94.      
  95.     
  96.         
  97.      
  98.     
  99.       ∀ 
  100.      
  101.     
  102.       r 
  103.      
  104.     
  105.       ∈ 
  106.      
  107.     
  108.       R 
  109.      
  110.     
  111.    
  112.      \varphi:R \rightarrow K_{R},\ \varphi(r) = \frac{r}{1},\ \forall r \in R 
  113.     
  114.    
  115.  φ:R→KR​, φ(r)=1r​, ∀r∈R

可以看出 

  1.      φ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \varphi 
  6.    
  7.   
  8. φ是一个从 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      R 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     R 
  18.    
  19.   
  20. R到商域 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       K 
  27.      
  28.     
  29.       R 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     K_{R} 
  35.    
  36.   
  37. KR​的单射函数，即对于商域 
  38.  
  39.   
  40.    
  41.     
  42.     
  43.       K 
  44.      
  45.     
  46.       R 
  47.      
  48.     
  49.    
  50.   
  51.     K_{R} 
  52.    
  53.   
  54. KR​的元素 
  55.  
  56.   
  57.    
  58.     
  59.     
  60.       a 
  61.      
  62.     
  63.       b 
  64.      
  65.     
  66.    
  67.   
  68.     \frac{a}{b} 
  69.    
  70.   
  71. ba​约分后 
  72.  
  73.   
  74.    
  75.     
  76.      
  77.      
  78.        a 
  79.       
  80.       
  81.        
  82.       
  83.         ′ 
  84.        
  85.       
  86.      
  87.      
  88.      
  89.        b 
  90.       
  91.       
  92.        
  93.       
  94.         ′ 
  95.        
  96.       
  97.      
  98.     
  99.    
  100.   
  101.     \frac{a^{'}}{b^{'}} 
  102.    
  103.   
  104. b′a′​，如果 
  105.  
  106.   
  107.    
  108.     
  109.     
  110.       b 
  111.      
  112.      
  113.       
  114.      
  115.        ′ 
  116.       
  117.      
  118.     
  119.    
  120.      = 
  121.     
  122.    
  123.      1 
  124.     
  125.    
  126.   
  127.     b^{'} = 1 
  128.    
  129.   
  130. b′=1，则对应一个 
  131.  
  132.   
  133.    
  134.    
  135.      R 
  136.     
  137.    
  138.   
  139.     R 
  140.    
  141.   
  142. R的元素 
  143.  
  144.   
  145.    
  146.     
  147.     
  148.       a 
  149.      
  150.      
  151.       
  152.      
  153.        ′ 
  154.       
  155.      
  156.     
  157.    
  158.   
  159.     a^{'} 
  160.    
  161.   
  162. a′。

【定义3】本原多项式

如果 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是唯一析因整环，对于 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      R 
  14.     
  15.    
  16.      [ 
  17.     
  18.    
  19.      x 
  20.     
  21.    
  22.      ] 
  23.     
  24.    
  25.   
  26.     R\lbrack x\rbrack 
  27.    
  28.   
  29. R[x]的多项式函数
  32.   
  33.    
  34.     
  35.     
  36.       F 
  37.      
  38.     
  39.       = 
  40.      
  41.      
  42.      
  43.        ∑ 
  44.       
  45.       
  46.       
  47.         i 
  48.        
  49.       
  50.         = 
  51.        
  52.       
  53.         0 
  54.        
  55.       
  56.      
  57.        m 
  58.       
  59.      
  60.      
  61.       
  62.       
  63.         a 
  64.        
  65.       
  66.         i 
  67.        
  68.       
  69.       
  70.       
  71.         x 
  72.        
  73.       
  74.         i 
  75.        
  76.       
  77.      
  78.     
  79.                   
  80.      
  81.      
  82.      
  83.        r 
  84.       
  85.      
  86.        i 
  87.       
  88.      
  89.     
  90.       ∈ 
  91.      
  92.     
  93.       R 
  94.      
  95.     
  96.    
  97.      F = \sum_{i = 0}^{m}{a_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R 
  98.     
  99.    
  100.  F=i=0∑m​ai​xi           ri​∈R

如果 

  1.      gcd 
  2.     
  3.    
  4.      ⁡ 
  5.     
  6.     
  7.     
  8.       ( 
  9.      
  10.      
  11.      
  12.        a 
  13.       
  14.      
  15.        m 
  16.       
  17.      
  18.     
  19.       … 
  20.      
  21.      
  22.      
  23.        a 
  24.       
  25.      
  26.        1 
  27.       
  28.      
  29.     
  30.       , 
  31.      
  32.      
  33.      
  34.        a 
  35.       
  36.      
  37.        0 
  38.       
  39.      
  40.     
  41.       ) 
  42.      
  43.     
  44.    
  45.      ∼ 
  46.     
  47.    
  48.      1 
  49.     
  50.    
  51.   
  52.     \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right)\sim 1 
  53.    
  54.   
  55. gcd(am​…a1​,a0​)∼1，那么称 
  56.  
  57.   
  58.    
  59.    
  60.      F 
  61.     
  62.    
  63.   
  64.     F 
  65.    
  66.   
  67. F为本原多项式。

一般情况下：

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       = 
  5.      
  6.     
  7.       gcd 
  8.      
  9.     
  10.       ⁡ 
  11.      
  12.      
  13.      
  14.        ( 
  15.       
  16.       
  17.       
  18.         a 
  19.        
  20.       
  21.         m 
  22.        
  23.       
  24.      
  25.        … 
  26.       
  27.       
  28.       
  29.         a 
  30.        
  31.       
  32.         1 
  33.        
  34.       
  35.      
  36.        , 
  37.       
  38.       
  39.       
  40.         a 
  41.        
  42.       
  43.         0 
  44.        
  45.       
  46.      
  47.        ) 
  48.       
  49.      
  50.     
  51.       × 
  52.      
  53.     
  54.       p 
  55.      
  56.     
  57.       p 
  58.      
  59.     
  60.       ( 
  61.      
  62.     
  63.       F 
  64.      
  65.     
  66.       , 
  67.      
  68.     
  69.       x 
  70.      
  71.     
  72.       ) 
  73.      
  74.     
  75.       = 
  76.      
  77.     
  78.       c 
  79.      
  80.     
  81.       o 
  82.      
  83.     
  84.       n 
  85.      
  86.     
  87.       t 
  88.      
  89.     
  90.       ( 
  91.      
  92.     
  93.       F 
  94.      
  95.     
  96.       , 
  97.      
  98.     
  99.       x 
  100.      
  101.     
  102.       ) 
  103.      
  104.     
  105.       × 
  106.      
  107.     
  108.       p 
  109.      
  110.     
  111.       p 
  112.      
  113.     
  114.       ( 
  115.      
  116.     
  117.       F 
  118.      
  119.     
  120.       , 
  121.      
  122.     
  123.       x 
  124.      
  125.     
  126.       ) 
  127.      
  128.     
  129.    
  130.      F = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right) \times pp(F,x) = cont(F,x) \times pp(F,x) 
  131.     
  132.    
  133.  F=gcd(am​…a1​,a0​)×pp(F,x)=cont(F,x)×pp(F,x)

其中 

  1.      c 
  2.     
  3.    
  4.      o 
  5.     
  6.    
  7.      n 
  8.     
  9.    
  10.      t 
  11.     
  12.    
  13.      ( 
  14.     
  15.    
  16.      F 
  17.     
  18.    
  19.      , 
  20.     
  21.    
  22.      x 
  23.     
  24.    
  25.      ) 
  26.     
  27.    
  28.      = 
  29.     
  30.    
  31.      gcd 
  32.     
  33.    
  34.      ⁡ 
  35.     
  36.     
  37.     
  38.       ( 
  39.      
  40.      
  41.      
  42.        a 
  43.       
  44.      
  45.        m 
  46.       
  47.      
  48.     
  49.       … 
  50.      
  51.      
  52.      
  53.        a 
  54.       
  55.      
  56.        1 
  57.       
  58.      
  59.     
  60.       , 
  61.      
  62.      
  63.      
  64.        a 
  65.       
  66.      
  67.        0 
  68.       
  69.      
  70.     
  71.       ) 
  72.      
  73.     
  74.    
  75.   
  76.     cont(F,x) = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right) 
  77.    
  78.   
  79. cont(F,x)=gcd(am​…a1​,a0​)、 
  80.  
  81.   
  82.    
  83.    
  84.      p 
  85.     
  86.    
  87.      p 
  88.     
  89.    
  90.      ( 
  91.     
  92.    
  93.      F 
  94.     
  95.    
  96.      , 
  97.     
  98.    
  99.      x 
  100.     
  101.    
  102.      ) 
  103.     
  104.    
  105.   
  106.     pp(F,x) 
  107.    
  108.   
  109. pp(F,x)为 
  110.  
  111.   
  112.    
  113.    
  114.      F 
  115.     
  116.    
  117.   
  118.     F 
  119.    
  120.   
  121. F的本原部分、 
  122.  
  123.   
  124.    
  125.    
  126.      c 
  127.     
  128.    
  129.      o 
  130.     
  131.    
  132.      n 
  133.     
  134.    
  135.      t 
  136.     
  137.    
  138.      ( 
  139.     
  140.    
  141.      F 
  142.     
  143.    
  144.      , 
  145.     
  146.    
  147.      x 
  148.     
  149.    
  150.      ) 
  151.     
  152.    
  153.   
  154.     cont(F,x) 
  155.    
  156.   
  157. cont(F,x)为 
  158.  
  159.   
  160.    
  161.    
  162.      F 
  163.     
  164.    
  165.   
  166.     F 
  167.    
  168.   
  169. F的容忍度。

【引理1】

如果 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是唯一析因整环，那么两个本原多项式的积仍是本原多项式。

【引理2】

如果 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是唯一析因整环，那么两个本原多项式 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      F 
  14.     
  15.    
  16.      、 
  17.     
  18.    
  19.      G 
  20.     
  21.    
  22.   
  23.     F、G 
  24.    
  25.   
  26. F、G满足
  29.   
  30.    
  31.     
  32.     
  33.       F 
  34.      
  35.     
  36.       × 
  37.      
  38.     
  39.       f 
  40.      
  41.     
  42.       = 
  43.      
  44.     
  45.       G 
  46.      
  47.     
  48.       × 
  49.      
  50.     
  51.       g 
  52.      
  53.     
  54.              
  55.      
  56.     
  57.       f 
  58.      
  59.     
  60.       ∈ 
  61.      
  62.     
  63.       R 
  64.      
  65.     
  66.       、 
  67.      
  68.     
  69.       g 
  70.      
  71.     
  72.       ∈ 
  73.      
  74.     
  75.       R 
  76.      
  77.     
  78.    
  79.      F \times f = G \times g\ \ \ \ \ \ f \in R、g \in R 
  80.     
  81.    
  82.  F×f=G×g      f∈R、g∈R

那么有

  1.       f 
  2.      
  3.     
  4.       ∼ 
  5.      
  6.     
  7.       g 
  8.      
  9.     
  10.                
  11.      
  12.     
  13.       F 
  14.      
  15.     
  16.       ∼ 
  17.      
  18.     
  19.       G 
  20.      
  21.     
  22.    
  23.      f\sim g\ \ \ \ \ \ \ \ F\sim G 
  24.     
  25.    
  26.  f∼g        F∼G

这是因为最小公倍数 

  1.      l 
  2.     
  3.    
  4.      c 
  5.     
  6.    
  7.      m 
  8.     
  9.    
  10.      ( 
  11.     
  12.    
  13.      f 
  14.     
  15.    
  16.      , 
  17.     
  18.    
  19.      g 
  20.     
  21.    
  22.      ) 
  23.     
  24.    
  25.      ∣ 
  26.     
  27.    
  28.      F 
  29.     
  30.    
  31.      × 
  32.     
  33.    
  34.      f 
  35.     
  36.    
  37.   
  38.     lcm(f,g)|F \times f 
  39.    
  40.   
  41. lcm(f,g)∣F×f、 
  42.  
  43.   
  44.    
  45.    
  46.      l 
  47.     
  48.    
  49.      c 
  50.     
  51.    
  52.      m 
  53.     
  54.    
  55.      ( 
  56.     
  57.    
  58.      f 
  59.     
  60.    
  61.      , 
  62.     
  63.    
  64.      g 
  65.     
  66.    
  67.      ) 
  68.     
  69.    
  70.      ∣ 
  71.     
  72.    
  73.      G 
  74.     
  75.    
  76.      × 
  77.     
  78.    
  79.      g 
  80.     
  81.    
  82.   
  83.     lcm(f,g)|G \times g 
  84.    
  85.   
  86. lcm(f,g)∣G×g，而 
  87.  
  88.   
  89.    
  90.    
  91.      F 
  92.     
  93.    
  94.      、 
  95.     
  96.    
  97.      G 
  98.     
  99.    
  100.   
  101.     F、G 
  102.    
  103.   
  104. F、G为本原多项式，所以 
  105.  
  106.   
  107.    
  108.    
  109.      f 
  110.     
  111.    
  112.      ∼ 
  113.     
  114.    
  115.      l 
  116.     
  117.    
  118.      c 
  119.     
  120.    
  121.      m 
  122.     
  123.    
  124.      ( 
  125.     
  126.    
  127.      f 
  128.     
  129.    
  130.      , 
  131.     
  132.    
  133.      g 
  134.     
  135.    
  136.      ) 
  137.     
  138.    
  139.      ∼ 
  140.     
  141.    
  142.      g 
  143.     
  144.    
  145.   
  146.     f\sim lcm(f,g)\sim g 
  147.    
  148.   
  149. f∼lcm(f,g)∼g，从而 
  150.  
  151.   
  152.    
  153.    
  154.      F 
  155.     
  156.    
  157.      ∼ 
  158.     
  159.    
  160.      G 
  161.     
  162.    
  163.   
  164.     F\sim G 
  165.    
  166.   
  167. F∼G

【定理】如果

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     R 
  6.    
  7.   
  8. R是唯一析因整环，那么 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      R 
  14.     
  15.    
  16.      [ 
  17.     
  18.    
  19.      x 
  20.     
  21.    
  22.      ] 
  23.     
  24.    
  25.   
  26.     R\lbrack x\rbrack 
  27.    
  28.   
  29. R[x]也是唯一析因整环

【证明】

设 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.      [ 
  5.     
  6.    
  7.      x 
  8.     
  9.    
  10.      ] 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     R\lbrack x\rbrack 
  15.    
  16.   
  17. R[x]上的多项式函数为
  20.   
  21.    
  22.     
  23.     
  24.       F 
  25.      
  26.     
  27.       = 
  28.      
  29.      
  30.      
  31.        ∑ 
  32.       
  33.       
  34.       
  35.         i 
  36.        
  37.       
  38.         = 
  39.        
  40.       
  41.         0 
  42.        
  43.       
  44.      
  45.        m 
  46.       
  47.      
  48.      
  49.       
  50.       
  51.         r 
  52.        
  53.       
  54.         i 
  55.        
  56.       
  57.       
  58.       
  59.         x 
  60.        
  61.       
  62.         i 
  63.        
  64.       
  65.      
  66.     
  67.                   
  68.      
  69.      
  70.      
  71.        r 
  72.       
  73.      
  74.        i 
  75.       
  76.      
  77.     
  78.       ∈ 
  79.      
  80.     
  81.       R 
  82.      
  83.     
  84.    
  85.      F = \sum_{i = 0}^{m}{r_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R 
  86.     
  87.    
  88.  F=i=0∑m​ri​xi           ri​∈R

根据【定义1】中商域 

  1.       K 
  2.      
  3.     
  4.       R 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     K_{R} 
  10.    
  11.   
  12. KR​的定义， 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.    
  17.      F 
  18.     
  19.    
  20.   
  21.     F 
  22.    
  23.   
  24. F对应 
  25.  
  26.   
  27.    
  28.     
  29.     
  30.       K 
  31.      
  32.     
  33.       R 
  34.      
  35.     
  36.    
  37.      [ 
  38.     
  39.    
  40.      x 
  41.     
  42.    
  43.      ] 
  44.     
  45.    
  46.   
  47.     K_{R}\lbrack x\rbrack 
  48.    
  49.   
  50. KR​[x]上的多项式函数
  53.   
  54.    
  55.     
  56.      
  57.      
  58.        F 
  59.       
  60.      
  61.        K 
  62.       
  63.      
  64.     
  65.       = 
  66.      
  67.      
  68.      
  69.        ∑ 
  70.       
  71.       
  72.       
  73.         i 
  74.        
  75.       
  76.         = 
  77.        
  78.       
  79.         0 
  80.        
  81.       
  82.      
  83.        m 
  84.       
  85.      
  86.      
  87.       
  88.       
  89.         k 
  90.        
  91.       
  92.         i 
  93.        
  94.       
  95.       
  96.       
  97.         x 
  98.        
  99.       
  100.         i 
  101.        
  102.       
  103.      
  104.     
  105.                   
  106.      
  107.      
  108.      
  109.        k 
  110.       
  111.      
  112.        i 
  113.       
  114.      
  115.     
  116.       = 
  117.      
  118.      
  119.       
  120.       
  121.         r 
  122.        
  123.       
  124.         i 
  125.        
  126.       
  127.      
  128.        1 
  129.       
  130.      
  131.     
  132.       ∈ 
  133.      
  134.     
  135.       R 
  136.      
  137.     
  138.    
  139.      F_{K} = \sum_{i = 0}^{m}{k_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{i} = \frac{r_{i}}{1} \in R 
  140.     
  141.    
  142.  FK​=i=0∑m​ki​xi           ki​=1ri​​∈R

注意：由于 

  1.       K 
  2.      
  3.     
  4.       R 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     K_{R} 
  10.    
  11.   
  12. KR​为域，所以 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.     
  17.     
  18.       K 
  19.      
  20.     
  21.       R 
  22.      
  23.     
  24.    
  25.      [ 
  26.     
  27.    
  28.      x 
  29.     
  30.    
  31.      ] 
  32.     
  33.    
  34.   
  35.     K_{R}\lbrack x\rbrack 
  36.    
  37.   
  38. KR​[x]是欧几里得整环，从而 
  39.  
  40.   
  41.    
  42.     
  43.     
  44.       K 
  45.      
  46.     
  47.       R 
  48.      
  49.     
  50.    
  51.      [ 
  52.     
  53.    
  54.      x 
  55.     
  56.    
  57.      ] 
  58.     
  59.    
  60.   
  61.     K_{R}\lbrack x\rbrack 
  62.    
  63.   
  64. KR​[x]是唯一析因整环。

下面的1、2中对 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       K 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     F_{K} 
  10.    
  11.   
  12. FK​的真因子分解结果会把真因子的相伴元视为等价因子。

1. 若

  1.      F 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     F 
  6.    
  7.   
  8. F为本原多项式，且 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.     
  13.     
  14.       F 
  15.      
  16.     
  17.       K 
  18.      
  19.     
  20.    
  21.   
  22.     F_{K} 
  23.    
  24.   
  25. FK​的真因子分解结果必然对应一个 
  26.  
  27.   
  28.    
  29.    
  30.      F 
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     F 
  35.    
  36.   
  37. F的真因子分解结果

设 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       K 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     F_{K} 
  10.    
  11.   
  12. FK​的真因子分解结果如下：
  15.   
  16.    
  17.     
  18.      
  19.      
  20.        F 
  21.       
  22.      
  23.        K 
  24.       
  25.      
  26.     
  27.       = 
  28.      
  29.      
  30.      
  31.        ∏ 
  32.       
  33.       
  34.       
  35.         i 
  36.        
  37.       
  38.         = 
  39.        
  40.       
  41.         1 
  42.        
  43.       
  44.      
  45.        n 
  46.       
  47.      
  48.      
  49.      
  50.        F 
  51.       
  52.      
  53.        K 
  54.       
  55.       
  56.       
  57.         ( 
  58.        
  59.       
  60.         i 
  61.        
  62.       
  63.         ) 
  64.        
  65.       
  66.      
  67.     
  68.                
  69.      
  70.      
  71.      
  72.        F 
  73.       
  74.      
  75.        K 
  76.       
  77.       
  78.       
  79.         ( 
  80.        
  81.       
  82.         i 
  83.        
  84.       
  85.         ) 
  86.        
  87.       
  88.      
  89.     
  90.       ∈ 
  91.      
  92.      
  93.      
  94.        K 
  95.       
  96.      
  97.        R 
  98.       
  99.      
  100.     
  101.       [ 
  102.      
  103.     
  104.       x 
  105.      
  106.     
  107.       ] 
  108.      
  109.     
  110.    
  111.      F_{K} = \prod_{i = 1}^{n}F_{K}^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ F_{K}^{(i)} \in K_{R}\lbrack x\rbrack 
  112.     
  113.    
  114.  FK​=i=1∏n​FK(i)​        FK(i)​∈KR​[x]

对于所有 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       K 
  5.      
  6.      
  7.      
  8.        ( 
  9.       
  10.      
  11.        i 
  12.       
  13.      
  14.        ) 
  15.       
  16.      
  17.     
  18.    
  19.   
  20.     F_{K}^{(i)} 
  21.    
  22.   
  23. FK(i)​，总有一个 
  24.  
  25.   
  26.    
  27.     
  28.     
  29.       F 
  30.      
  31.      
  32.      
  33.        ( 
  34.       
  35.      
  36.        i 
  37.       
  38.      
  39.        ) 
  40.       
  41.      
  42.     
  43.    
  44.   
  45.     F^{(i)} 
  46.    
  47.   
  48. F(i)与之对应：
  51.   
  52.    
  53.     
  54.      
  55.      
  56.        φ 
  57.       
  58.       
  59.       
  60.         − 
  61.        
  62.       
  63.         1 
  64.        
  65.       
  66.      
  67.      
  68.      
  69.        ( 
  70.       
  71.       
  72.       
  73.         F 
  74.        
  75.       
  76.         K 
  77.        
  78.        
  79.        
  80.          ( 
  81.         
  82.        
  83.          i 
  84.         
  85.        
  86.          ) 
  87.         
  88.        
  89.       
  90.      
  91.        × 
  92.       
  93.       
  94.        
  95.        
  96.          r 
  97.         
  98.         
  99.         
  100.           ( 
  101.          
  102.         
  103.           i 
  104.          
  105.         
  106.           ) 
  107.          
  108.         
  109.        
  110.       
  111.         1 
  112.        
  113.       
  114.      
  115.        ) 
  116.       
  117.      
  118.     
  119.       = 
  120.      
  121.      
  122.      
  123.        F 
  124.       
  125.       
  126.       
  127.         ( 
  128.        
  129.       
  130.         i 
  131.        
  132.       
  133.         ) 
  134.        
  135.       
  136.      
  137.     
  138.                   
  139.      
  140.      
  141.      
  142.        r 
  143.       
  144.       
  145.       
  146.         ( 
  147.        
  148.       
  149.         i 
  150.        
  151.       
  152.         ) 
  153.        
  154.       
  155.      
  156.     
  157.       ∈ 
  158.      
  159.     
  160.       R 
  161.      
  162.     
  163.    
  164.      \varphi^{- 1}\left( F_{K}^{(i)} \times \frac{r^{(i)}}{1} \right) = F^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r^{(i)} \in R 
  165.     
  166.    
  167.  φ−1(FK(i)​×1r(i)​)=F(i)           r(i)∈R

那么有

  1.       F 
  2.      
  3.      
  4.      
  5.        ∏ 
  6.       
  7.       
  8.       
  9.         i 
  10.        
  11.       
  12.         = 
  13.        
  14.       
  15.         1 
  16.        
  17.       
  18.      
  19.        n 
  20.       
  21.      
  22.      
  23.      
  24.        r 
  25.       
  26.       
  27.       
  28.         ( 
  29.        
  30.       
  31.         i 
  32.        
  33.       
  34.         ) 
  35.        
  36.       
  37.      
  38.     
  39.       = 
  40.      
  41.      
  42.      
  43.        ∏ 
  44.       
  45.       
  46.       
  47.         i 
  48.        
  49.       
  50.         = 
  51.        
  52.       
  53.         1 
  54.        
  55.       
  56.      
  57.        n 
  58.       
  59.      
  60.      
  61.      
  62.        F 
  63.       
  64.       
  65.       
  66.         ( 
  67.        
  68.       
  69.         i 
  70.        
  71.       
  72.         ) 
  73.        
  74.       
  75.      
  76.     
  77.    
  78.      F\prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}F^{(i)} 
  79.     
  80.    
  81.  Fi=1∏n​r(i)=i=1∏n​F(i)

而每个 

  1.      R 
  2.     
  3.    
  4.      [ 
  5.     
  6.    
  7.      x 
  8.     
  9.    
  10.      ] 
  11.     
  12.    
  13.   
  14.     R\lbrack x\rbrack 
  15.    
  16.   
  17. R[x]的多项式函数 
  18.  
  19.   
  20.    
  21.     
  22.     
  23.       F 
  24.      
  25.      
  26.      
  27.        ( 
  28.       
  29.      
  30.        i 
  31.       
  32.      
  33.        ) 
  34.       
  35.      
  36.     
  37.    
  38.   
  39.     F^{(i)} 
  40.    
  41.   
  42. F(i)都可写成本原部分和容忍度的乘积，所以
  45.   
  46.    
  47.     
  48.     
  49.       F 
  50.      
  51.     
  52.       × 
  53.      
  54.      
  55.      
  56.        ∏ 
  57.       
  58.       
  59.       
  60.         i 
  61.        
  62.       
  63.         = 
  64.        
  65.       
  66.         1 
  67.        
  68.       
  69.      
  70.        n 
  71.       
  72.      
  73.      
  74.      
  75.        r 
  76.       
  77.       
  78.       
  79.         ( 
  80.        
  81.       
  82.         i 
  83.        
  84.       
  85.         ) 
  86.        
  87.       
  88.      
  89.     
  90.       = 
  91.      
  92.      
  93.      
  94.        ∏ 
  95.       
  96.       
  97.       
  98.         i 
  99.        
  100.       
  101.         = 
  102.        
  103.       
  104.         1 
  105.        
  106.       
  107.      
  108.        n 
  109.       
  110.      
  111.      
  112.      
  113.        c 
  114.       
  115.      
  116.        o 
  117.       
  118.      
  119.        n 
  120.       
  121.      
  122.        t 
  123.       
  124.       
  125.       
  126.         ( 
  127.        
  128.        
  129.        
  130.          F 
  131.         
  132.         
  133.         
  134.           ( 
  135.          
  136.         
  137.           i 
  138.          
  139.         
  140.           ) 
  141.          
  142.         
  143.        
  144.       
  145.         , 
  146.        
  147.       
  148.         x 
  149.        
  150.       
  151.         ) 
  152.        
  153.       
  154.      
  155.     
  156.       × 
  157.      
  158.      
  159.      
  160.        ∏ 
  161.       
  162.       
  163.       
  164.         i 
  165.        
  166.       
  167.         = 
  168.        
  169.       
  170.         1 
  171.        
  172.       
  173.      
  174.        n 
  175.       
  176.      
  177.      
  178.      
  179.        p 
  180.       
  181.      
  182.        p 
  183.       
  184.       
  185.       
  186.         ( 
  187.        
  188.        
  189.        
  190.          F 
  191.         
  192.         
  193.         
  194.           ( 
  195.          
  196.         
  197.           i 
  198.          
  199.         
  200.           ) 
  201.          
  202.         
  203.        
  204.       
  205.         , 
  206.        
  207.       
  208.         x 
  209.        
  210.       
  211.         ) 
  212.        
  213.       
  214.      
  215.     
  216.    
  217.      F \times \prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)} \times \prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} 
  218.     
  219.    
  220.  F×i=1∏n​r(i)=i=1∏n​cont(F(i),x)×i=1∏n​pp(F(i),x)

根据 【引理1】 知

  1.        ∏ 
  2.       
  3.       
  4.       
  5.         i 
  6.        
  7.       
  8.         = 
  9.        
  10.       
  11.         1 
  12.        
  13.       
  14.      
  15.        n 
  16.       
  17.      
  18.      
  19.      
  20.        p 
  21.       
  22.      
  23.        p 
  24.       
  25.       
  26.       
  27.         ( 
  28.        
  29.        
  30.        
  31.          F 
  32.         
  33.         
  34.         
  35.           ( 
  36.          
  37.         
  38.           i 
  39.          
  40.         
  41.           ) 
  42.          
  43.         
  44.        
  45.       
  46.         , 
  47.        
  48.       
  49.         x 
  50.        
  51.       
  52.         ) 
  53.        
  54.       
  55.      
  56.     
  57.    
  58.      \prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} 
  59.     
  60.    
  61.  i=1∏n​pp(F(i),x)

为本原多项式。

再根据 【引理2】

  1.        ∏ 
  2.       
  3.       
  4.       
  5.         i 
  6.        
  7.       
  8.         = 
  9.        
  10.       
  11.         1 
  12.        
  13.       
  14.      
  15.        n 
  16.       
  17.      
  18.      
  19.      
  20.        r 
  21.       
  22.       
  23.       
  24.         ( 
  25.        
  26.       
  27.         i 
  28.        
  29.       
  30.         ) 
  31.        
  32.       
  33.      
  34.     
  35.       ∼ 
  36.      
  37.      
  38.      
  39.        ∏ 
  40.       
  41.       
  42.       
  43.         i 
  44.        
  45.       
  46.         = 
  47.        
  48.       
  49.         1 
  50.        
  51.       
  52.      
  53.        n 
  54.       
  55.      
  56.      
  57.      
  58.        c 
  59.       
  60.      
  61.        o 
  62.       
  63.      
  64.        n 
  65.       
  66.      
  67.        t 
  68.       
  69.       
  70.       
  71.         ( 
  72.        
  73.        
  74.        
  75.          F 
  76.         
  77.         
  78.         
  79.           ( 
  80.          
  81.         
  82.           i 
  83.          
  84.         
  85.           ) 
  86.          
  87.         
  88.        
  89.       
  90.         , 
  91.        
  92.       
  93.         x 
  94.        
  95.       
  96.         ) 
  97.        
  98.       
  99.      
  100.     
  101.    
  102.      \prod_{i = 1}^{n}r^{(i)}\sim\prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)} 
  103.     
  104.    
  105.  i=1∏n​r(i)∼i=1∏n​cont(F(i),x)
  108.   
  109.    
  110.     
  111.     
  112.       F 
  113.      
  114.     
  115.       ∼ 
  116.      
  117.      
  118.      
  119.        ∏ 
  120.       
  121.       
  122.       
  123.         i 
  124.        
  125.       
  126.         = 
  127.        
  128.       
  129.         1 
  130.        
  131.       
  132.      
  133.        n 
  134.       
  135.      
  136.      
  137.      
  138.        p 
  139.       
  140.      
  141.        p 
  142.       
  143.       
  144.       
  145.         ( 
  146.        
  147.        
  148.        
  149.          F 
  150.         
  151.         
  152.         
  153.           ( 
  154.          
  155.         
  156.           i 
  157.          
  158.         
  159.           ) 
  160.          
  161.         
  162.        
  163.       
  164.         , 
  165.        
  166.       
  167.         x 
  168.        
  169.       
  170.         ) 
  171.        
  172.       
  173.      
  174.     
  175.    
  176.      F\sim\prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)} 
  177.     
  178.    
  179.  F∼i=1∏n​pp(F(i),x)

所以 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       K 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     F_{K} 
  10.    
  11.   
  12. FK​的真因子分解结果必然对应一个 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.    
  17.      F 
  18.     
  19.    
  20.   
  21.     F 
  22.    
  23.   
  24. F因子分解结果。

2. 若

  1.      F 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     F 
  6.    
  7.   
  8. F是本原多项式，则多项式 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      F 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     F 
  18.    
  19.   
  20. F的真因子分解结果唯一

通过映射关系 

  1.      φ 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     \varphi 
  6.    
  7.   
  8. φ， 
  9.  
  10.   
  11.    
  12.    
  13.      F 
  14.     
  15.    
  16.   
  17.     F 
  18.    
  19.   
  20. F的真因子分解过程可在 
  21.  
  22.   
  23.    
  24.     
  25.     
  26.       F 
  27.      
  28.     
  29.       K 
  30.      
  31.     
  32.    
  33.   
  34.     F_{K} 
  35.    
  36.   
  37. FK​上模拟。这也意味，当 
  38.  
  39.   
  40.    
  41.    
  42.      F 
  43.     
  44.    
  45.   
  46.     F 
  47.    
  48.   
  49. F的真因子分解过程结束时， 
  50.  
  51.   
  52.    
  53.     
  54.     
  55.       F 
  56.      
  57.     
  58.       K 
  59.      
  60.     
  61.    
  62.   
  63.     F_{K} 
  64.    
  65.   
  66. FK​的也无真因子可继续分解（根据前面的结论，** 
  67.   
  68.    
  69.     
  70.      
  71.      
  72.        F 
  73.       
  74.      
  75.        K 
  76.       
  77.      
  78.     
  79.    
  80.      F_{K} 
  81.     
  82.    
  83.  FK​的真因子分解结果必然对应一个 
  84.   
  85.    
  86.     
  87.     
  88.       F 
  89.      
  90.     
  91.    
  92.      F 
  93.     
  94.    
  95.  F的真因子分解结果**，反证立得）。

由于 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       K 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     F_{K} 
  10.    
  11.   
  12. FK​是唯一析因整环 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.     
  17.     
  18.       K 
  19.      
  20.     
  21.       R 
  22.      
  23.     
  24.    
  25.      [ 
  26.     
  27.    
  28.      x 
  29.     
  30.    
  31.      ] 
  32.     
  33.    
  34.   
  35.     K_{R}\lbrack x\rbrack 
  36.    
  37.   
  38. KR​[x]上的多项式，所以 
  39.  
  40.   
  41.    
  42.     
  43.     
  44.       F 
  45.      
  46.     
  47.       K 
  48.      
  49.     
  50.    
  51.   
  52.     F_{K} 
  53.    
  54.   
  55. FK​唯一分解，从而 
  56.  
  57.   
  58.    
  59.    
  60.      F 
  61.     
  62.    
  63.   
  64.     F 
  65.    
  66.   
  67. F也是唯一分解（因为 
  68.  
  69.   
  70.    
  71.    
  72.      F 
  73.     
  74.    
  75.   
  76.     F 
  77.    
  78.   
  79. F的不同真因子分解，也必然对应 
  80.  
  81.   
  82.    
  83.     
  84.     
  85.       F 
  86.      
  87.     
  88.       K 
  89.      
  90.     
  91.    
  92.   
  93.     F_{K} 
  94.    
  95.   
  96. FK​的不同真因子分解，矛盾）。

3. 一般多项式

  1.      F 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     F 
  6.    
  7.   
  8. F的真因子分解结果唯一

对于一般的多项式 

  1.      F 
  2.     
  3.    
  4.   
  5.     F 
  6.    
  7.   
  8. F的任意分解
  11.   
  12.    
  13.     
  14.     
  15.       F 
  16.      
  17.     
  18.       = 
  19.      
  20.      
  21.      
  22.        ∏ 
  23.       
  24.       
  25.       
  26.         i 
  27.        
  28.       
  29.         = 
  30.        
  31.       
  32.         1 
  33.        
  34.       
  35.      
  36.        k 
  37.       
  38.      
  39.      
  40.      
  41.        f 
  42.       
  43.      
  44.        i 
  45.       
  46.      
  47.     
  48.       × 
  49.      
  50.      
  51.      
  52.        ∏ 
  53.       
  54.       
  55.       
  56.         i 
  57.        
  58.       
  59.         = 
  60.        
  61.       
  62.         1 
  63.        
  64.       
  65.      
  66.        n 
  67.       
  68.      
  69.      
  70.      
  71.        F 
  72.       
  73.      
  74.        i 
  75.       
  76.      
  77.     
  78.       = 
  79.      
  80.     
  81.       c 
  82.      
  83.     
  84.       o 
  85.      
  86.     
  87.       n 
  88.      
  89.     
  90.       t 
  91.      
  92.     
  93.       ( 
  94.      
  95.     
  96.       F 
  97.      
  98.     
  99.       , 
  100.      
  101.     
  102.       x 
  103.      
  104.     
  105.       ) 
  106.      
  107.     
  108.       × 
  109.      
  110.     
  111.       p 
  112.      
  113.     
  114.       p 
  115.      
  116.     
  117.       ( 
  118.      
  119.     
  120.       F 
  121.      
  122.     
  123.       , 
  124.      
  125.     
  126.       x 
  127.      
  128.     
  129.       ) 
  130.      
  131.     
  132.    
  133.      F = \prod_{i = 1}^{k}f_{i} \times \prod_{i = 1}^{n}F_{i} = cont(F,x) \times pp(F,x) 
  134.     
  135.    
  136.  F=i=1∏k​fi​×i=1∏n​Fi​=cont(F,x)×pp(F,x)

因为 

  1.       F 
  2.      
  3.     
  4.       i 
  5.      
  6.     
  7.    
  8.   
  9.     F_{i} 
  10.    
  11.   
  12. Fi​都是本原多项式（否则可以析出真因子 
  13.  
  14.   
  15.    
  16.    
  17.      ∈ 
  18.     
  19.    
  20.      R 
  21.     
  22.    
  23.   
  24.     \in R 
  25.    
  26.   
  27. ∈R），根据 **【引理1】【引理2】**
  30.   
  31.    
  32.     
  33.      
  34.      
  35.        ∏ 
  36.       
  37.       
  38.       
  39.         i 
  40.        
  41.       
  42.         = 
  43.        
  44.       
  45.         1 
  46.        
  47.       
  48.      
  49.        k 
  50.       
  51.      
  52.      
  53.      
  54.        f 
  55.       
  56.      
  57.        i 
  58.       
  59.      
  60.     
  61.       ∼ 
  62.      
  63.     
  64.       c 
  65.      
  66.     
  67.       o 
  68.      
  69.     
  70.       n 
  71.      
  72.     
  73.       t 
  74.      
  75.     
  76.       ( 
  77.      
  78.     
  79.       F 
  80.      
  81.     
  82.       , 
  83.      
  84.     
  85.       x 
  86.      
  87.     
  88.       ) 
  89.      
  90.     
  91.    
  92.      \prod_{i = 1}^{k}f_{i}\sim cont(F,x) 
  93.     
  94.    
  95.  i=1∏k​fi​∼cont(F,x)
  98.   
  99.    
  100.     
  101.      
  102.      
  103.        ∏ 
  104.       
  105.       
  106.       
  107.         i 
  108.        
  109.       
  110.         = 
  111.        
  112.       
  113.         1 
  114.        
  115.       
  116.      
  117.        n 
  118.       
  119.      
  120.      
  121.      
  122.        F 
  123.       
  124.      
  125.        i 
  126.       
  127.      
  128.     
  129.       ∼ 
  130.      
  131.     
  132.       p 
  133.      
  134.     
  135.       p 
  136.      
  137.     
  138.       ( 
  139.      
  140.     
  141.       F 
  142.      
  143.     
  144.       , 
  145.      
  146.     
  147.       x 
  148.      
  149.     
  150.       ) 
  151.      
  152.     
  153.    
  154.      \prod_{i = 1}^{n}F_{i}\sim pp(F,x) 
  155.     
  156.    
  157.  i=1∏n​Fi​∼pp(F,x)

由于 

  1.      c 
  2.     
  3.    
  4.      o 
  5.     
  6.    
  7.      n 
  8.     
  9.    
  10.      t 
  11.     
  12.    
  13.      ( 
  14.     
  15.    
  16.      F 
  17.     
  18.    
  19.      , 
  20.     
  21.    
  22.      x 
  23.     
  24.    
  25.      ) 
  26.     
  27.    
  28.      ∈ 
  29.     
  30.    
  31.      R 
  32.     
  33.    
  34.   
  35.     cont(F,x) \in R 
  36.    
  37.   
  38. cont(F,x)∈R，所以真因子分解结果唯一。同时根据**2**，可知 
  39.  
  40.   
  41.    
  42.    
  43.      F 
  44.     
  45.    
  46.   
  47.     F 
  48.    
  49.   
  50. F的本原部分 
  51.  
  52.   
  53.    
  54.    
  55.      p 
  56.     
  57.    
  58.      p 
  59.     
  60.    
  61.      ( 
  62.     
  63.    
  64.      F 
  65.     
  66.    
  67.      , 
  68.     
  69.    
  70.      x 
  71.     
  72.    
  73.      ) 
  74.     
  75.    
  76.   
  77.     pp(F,x) 
  78.    
  79.   
  80. pp(F,x)的真因子分解结果 
  81.  
  82.   
  83.    
  84.     
  85.     
  86.       ∏ 
  87.      
  88.      
  89.      
  90.        i 
  91.       
  92.      
  93.        = 
  94.       
  95.      
  96.        0 
  97.       
  98.      
  99.     
  100.       n 
  101.      
  102.     
  103.     
  104.     
  105.       F 
  106.      
  107.     
  108.       i 
  109.      
  110.     
  111.    
  112.   
  113.     \prod_{i = 0}^{n}F_{i} 
  114.    
  115.   
  116. ∏i=0n​Fi​唯一，所以一般多项式 
  117.  
  118.   
  119.    
  120.    
  121.      F 
  122.     
  123.    
  124.   
  125.     F 
  126.    
  127.   
  128. F的真因子分解结果唯一。
标签： 算法 抽象代数
本文转载自: https://blog.csdn.net/tianwangwxm/article/details/139660053
版权归原作者 书中玉 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
登录后发布评论

“如果R是唯一析因整环，那么R[x]也是唯一析因整环”的评论:

还没有评论
关于作者
...
overfit同步小助手
文章同步
相关阅读

网络安全法-网络运行安全

使用selenium/drissionpage时如何阻止chrome自动跳转http到https

docker desktop 里部署的Open WebUI 管理员密码忘记了的处理方法

在ubuntu20.04中搭建onsite比赛运行环境

利用开源的低代码表单设计器FcDesigner高效管理和渲染复杂表单结构

Kafka学习笔记

【前端】浏览器输入url到页面呈现发生了什么？

文章导航
没有找到文章内容分段。。。