【定义1】商域
如果
R
R
R是整环，那么则
R
R
R上的商域
K
R
K_{R}
KR定义为
K
R
=
{
a
b
∣
a
,
b
∈
R
,
b
≠
0
}
K_{R} = \left\{ \frac{a}{b}|a,b \in R,b \neq 0 \right\}
KR={ba∣a,b∈R,b=0}
其中
a
b
=
a
′
b
′
∈
K
R
⇔
a
b
′
=
a
′
b
∈
R
\frac{a}{b} = \frac{a^{'}}{b^{'}} \in K_{R} \Leftrightarrow ab^{'} = a^{'}b \in R
ba=b′a′∈KR⇔ab′=a′b∈R
域
K
R
K_{R}
KR中的
+
、
×
+ 、 \times
+、×按照下面方式进行
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
a
b
×
c
d
=
a
c
b
d
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
ba+dc=bdad+bc ba×dc=bdac
负元、逆元定义如下
−
a
b
=
−
a
b
(
a
b
)
−
1
=
b
a
- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \frac{a}{b} \right)^{- 1} = \frac{b}{a}
−ba=b−a (ba)−1=ab
【定义2】环同态
R
R
R是整环，可按照下面方式，建立从
R
R
R到商域
K
R
K_{R}
KR的环同态
φ
:
R
→
K
R
,
φ
(
r
)
=
r
1
,
∀
r
∈
R
\varphi:R \rightarrow K_{R},\ \varphi(r) = \frac{r}{1},\ \forall r \in R
φ:R→KR, φ(r)=1r, ∀r∈R
可以看出
φ
\varphi
φ是一个从
R
R
R到商域
K
R
K_{R}
KR的单射函数，即对于商域
K
R
K_{R}
KR的元素
a
b
\frac{a}{b}
ba约分后
a
′
b
′
\frac{a^{'}}{b^{'}}
b′a′，如果
b
′
=
1
b^{'} = 1
b′=1，则对应一个
R
R
R的元素
a
′
a^{'}
a′。
【定义3】本原多项式
如果
R
R
R是唯一析因整环，对于
R
[
x
]
R\lbrack x\rbrack
R[x]的多项式函数
F
=
∑
i
=
0
m
a
i
x
i
r
i
∈
R
F = \sum_{i = 0}^{m}{a_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R
F=i=0∑maixi ri∈R
如果
gcd
(
a
m
…
a
1
,
a
0
)
∼
1
\gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right)\sim 1
gcd(am…a1,a0)∼1，那么称
F
F
F为本原多项式。
一般情况下：
F
=
gcd
(
a
m
…
a
1
,
a
0
)
×
p
p
(
F
,
x
)
=
c
o
n
t
(
F
,
x
)
×
p
p
(
F
,
x
)
F = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right) \times pp(F,x) = cont(F,x) \times pp(F,x)
F=gcd(am…a1,a0)×pp(F,x)=cont(F,x)×pp(F,x)
其中
c
o
n
t
(
F
,
x
)
=
gcd
(
a
m
…
a
1
,
a
0
)
cont(F,x) = \gcd\left( a_{m}\ldots a_{1},a_{0} \right)
cont(F,x)=gcd(am…a1,a0)、
p
p
(
F
,
x
)
pp(F,x)
pp(F,x)为
F
F
F的本原部分、
c
o
n
t
(
F
,
x
)
cont(F,x)
cont(F,x)为
F
F
F的容忍度。
【引理1】
如果
R
R
R是唯一析因整环，那么两个本原多项式的积仍是本原多项式。
【引理2】
如果
R
R
R是唯一析因整环，那么两个本原多项式
F
、
G
F、G
F、G满足
F
×
f
=
G
×
g
f
∈
R
、
g
∈
R
F \times f = G \times g\ \ \ \ \ \ f \in R、g \in R
F×f=G×g f∈R、g∈R
那么有
f
∼
g
F
∼
G
f\sim g\ \ \ \ \ \ \ \ F\sim G
f∼g F∼G
这是因为最小公倍数
l
c
m
(
f
,
g
)
∣
F
×
f
lcm(f,g)|F \times f
lcm(f,g)∣F×f、
l
c
m
(
f
,
g
)
∣
G
×
g
lcm(f,g)|G \times g
lcm(f,g)∣G×g，而
F
、
G
F、G
F、G为本原多项式，所以
f
∼
l
c
m
(
f
,
g
)
∼
g
f\sim lcm(f,g)\sim g
f∼lcm(f,g)∼g，从而
F
∼
G
F\sim G
F∼G
【定理】如果
R
R
R是唯一析因整环，那么
R
[
x
]
R\lbrack x\rbrack
R[x]也是唯一析因整环
【证明】
设
R
[
x
]
R\lbrack x\rbrack
R[x]上的多项式函数为
F
=
∑
i
=
0
m
r
i
x
i
r
i
∈
R
F = \sum_{i = 0}^{m}{r_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{i} \in R
F=i=0∑mrixi ri∈R
根据【定义1】中商域
K
R
K_{R}
KR的定义，
F
F
F对应
K
R
[
x
]
K_{R}\lbrack x\rbrack
KR[x]上的多项式函数
F
K
=
∑
i
=
0
m
k
i
x
i
k
i
=
r
i
1
∈
R
F_{K} = \sum_{i = 0}^{m}{k_{i}x^{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{i} = \frac{r_{i}}{1} \in R
FK=i=0∑mkixi ki=1ri∈R
注意：由于
K
R
K_{R}
KR为域，所以
K
R
[
x
]
K_{R}\lbrack x\rbrack
KR[x]是欧几里得整环，从而
K
R
[
x
]
K_{R}\lbrack x\rbrack
KR[x]是唯一析因整环。
下面的1、2中对
F
K
F_{K}
FK的真因子分解结果会把真因子的相伴元视为等价因子。
1. 若
F
F
F为本原多项式，且
F
K
F_{K}
FK的真因子分解结果必然对应一个
F
F
F的真因子分解结果
设
F
K
F_{K}
FK的真因子分解结果如下：
F
K
=
∏
i
=
1
n
F
K
(
i
)
F
K
(
i
)
∈
K
R
[
x
]
F_{K} = \prod_{i = 1}^{n}F_{K}^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ F_{K}^{(i)} \in K_{R}\lbrack x\rbrack
FK=i=1∏nFK(i) FK(i)∈KR[x]
对于所有
F
K
(
i
)
F_{K}^{(i)}
FK(i)，总有一个
F
(
i
)
F^{(i)}
F(i)与之对应：
φ
−
1
(
F
K
(
i
)
×
r
(
i
)
1
)
=
F
(
i
)
r
(
i
)
∈
R
\varphi^{- 1}\left( F_{K}^{(i)} \times \frac{r^{(i)}}{1} \right) = F^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r^{(i)} \in R
φ−1(FK(i)×1r(i))=F(i) r(i)∈R
那么有
F
∏
i
=
1
n
r
(
i
)
=
∏
i
=
1
n
F
(
i
)
F\prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}F^{(i)}
Fi=1∏nr(i)=i=1∏nF(i)
而每个
R
[
x
]
R\lbrack x\rbrack
R[x]的多项式函数
F
(
i
)
F^{(i)}
F(i)都可写成本原部分和容忍度的乘积，所以
F
×
∏
i
=
1
n
r
(
i
)
=
∏
i
=
1
n
c
o
n
t
(
F
(
i
)
,
x
)
×
∏
i
=
1
n
p
p
(
F
(
i
)
,
x
)
F \times \prod_{i = 1}^{n}r^{(i)} = \prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)} \times \prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)}
F×i=1∏nr(i)=i=1∏ncont(F(i),x)×i=1∏npp(F(i),x)
根据 【引理1】 知
∏
i
=
1
n
p
p
(
F
(
i
)
,
x
)
\prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)}
i=1∏npp(F(i),x)
为本原多项式。
再根据 【引理2】
∏
i
=
1
n
r
(
i
)
∼
∏
i
=
1
n
c
o
n
t
(
F
(
i
)
,
x
)
\prod_{i = 1}^{n}r^{(i)}\sim\prod_{i = 1}^{n}{cont\left( F^{(i)},x \right)}
i=1∏nr(i)∼i=1∏ncont(F(i),x)
F
∼
∏
i
=
1
n
p
p
(
F
(
i
)
,
x
)
F\sim\prod_{i = 1}^{n}{pp\left( F^{(i)},x \right)}
F∼i=1∏npp(F(i),x)
所以
F
K
F_{K}
FK的真因子分解结果必然对应一个
F
F
F因子分解结果。
2. 若
F
F
F是本原多项式，则多项式
F
F
F的真因子分解结果唯一
通过映射关系
φ
\varphi
φ，
F
F
F的真因子分解过程可在
F
K
F_{K}
FK上模拟。这也意味，当
F
F
F的真因子分解过程结束时，
F
K
F_{K}
FK的也无真因子可继续分解（根据前面的结论，**
F
K
F_{K}
FK的真因子分解结果必然对应一个
F
F
F的真因子分解结果**，反证立得）。
由于
F
K
F_{K}
FK是唯一析因整环
K
R
[
x
]
K_{R}\lbrack x\rbrack
KR[x]上的多项式，所以
F
K
F_{K}
FK唯一分解，从而
F
F
F也是唯一分解（因为
F
F
F的不同真因子分解，也必然对应
F
K
F_{K}
FK的不同真因子分解，矛盾）。
3. 一般多项式
F
F
F的真因子分解结果唯一
对于一般的多项式
F
F
F的任意分解
F
=
∏
i
=
1
k
f
i
×
∏
i
=
1
n
F
i
=
c
o
n
t
(
F
,
x
)
×
p
p
(
F
,
x
)
F = \prod_{i = 1}^{k}f_{i} \times \prod_{i = 1}^{n}F_{i} = cont(F,x) \times pp(F,x)
F=i=1∏kfi×i=1∏nFi=cont(F,x)×pp(F,x)
因为
F
i
F_{i}
Fi都是本原多项式（否则可以析出真因子
∈
R
\in R
∈R），根据 **【引理1】【引理2】**
∏
i
=
1
k
f
i
∼
c
o
n
t
(
F
,
x
)
\prod_{i = 1}^{k}f_{i}\sim cont(F,x)
i=1∏kfi∼cont(F,x)
∏
i
=
1
n
F
i
∼
p
p
(
F
,
x
)
\prod_{i = 1}^{n}F_{i}\sim pp(F,x)
i=1∏nFi∼pp(F,x)
由于
c
o
n
t
(
F
,
x
)
∈
R
cont(F,x) \in R
cont(F,x)∈R，所以真因子分解结果唯一。同时根据**2**，可知
F
F
F的本原部分
p
p
(
F
,
x
)
pp(F,x)
pp(F,x)的真因子分解结果
∏
i
=
0
n
F
i
\prod_{i = 0}^{n}F_{i}
∏i=0nFi唯一，所以一般多项式
F
F
F的真因子分解结果唯一。
本文转载自: https://blog.csdn.net/tianwangwxm/article/details/139660053
版权归原作者 书中玉 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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