【安全多方计算】百万富翁问题

【安全多方计算】百万富翁问题

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【问题描述】

​ 百万富翁问题是姚期智先生在1982年提出的第一个安全双方计算问题,两个百万富翁街头邂逅，他们都想炫一下富，比比谁更有钱，但是出于隐私，都不想让对方知道自己到底拥有多少财富，所以要在不借助第三方的情况下，知道他们之间谁更有钱。

【问题分析】

①这里假设Alice和Bob就是这两个百万富翁，Alice拥有财富i百万，Bob拥有财富j百万，假设他们两的财富都没有超过N百万，即1 ≤ i , j ≤ N，如下图所示：

②Alice随机选择一个大随机数x，用Bob的公钥加密后得到x的密文c，如下图所示：

③Alice将c-i发送给Bob（减去i是为了破坏密文c），如下图所示：

④Bob首先计算N个数：yu=DSKB(c-i+u)， 其中u=1,2…N（这里加上u是为了能在yu的数列里面还原出被破坏的密文），然后随机选择一个大素数p，再计算N个数：zu=yu mod p, 其中u=1,2…N，如下图所示：

⑤接着Bob对于所有的0≤a≠b≤N，是否都满足|za-zb|≥2（如果小于2的话，就可能导致第⑥步里面的数串,zj+1+1,zj+2+1,…,zN+1和zj+1相等），若不满足，则重新选择大素数p并重新验证。如下图所示：

⑥如果满足，Bob将以下的N个数串和p：(z1，z2,…,zj,zj+1+1,zj+2+1,…,zN+1,p)一起发给Alice（这里从zj+1开始每一项+1是为了在第⑦步Alice验证的时候能得出正确的结论，而且也保护了Bob的隐私，不能泄露j的值），如下图所示：

⑦假设Alice收到这N+1个数的第i个数满足Zi=x(mod p)，则结论是i≤j，否则i＞j（对应第④步中的zu=yu mod p）。如下图所示：

【代码实现】

这部分的算法思想参考了csdn上Bertramoon的博客，只不过这里换成java实现。

【前导模块】

1.判断素数

publicstaticbooleanis_prime(int x)throwsException{//判断素数if(x <=1){thrownewException("0和1既不是素数也不是合数，x应为大于1的正整数");}for(int i =2; i <(int)(Math.sqrt(x)+1); i++){if(x % i ==0){returnfalse;}}returntrue;}

2.求最大公约数

publicstaticintgcd(int a,int b){//求最大公约数if(b ==0){return a;}else{returngcd(b, a % b);}

3.求乘法逆元

​ 首先，数学上的乘法逆元就是指直观的倒数，即 a 的逆元是 1/a，也即与 a 相乘得 1 的数。ax=1，则x是a的乘法逆元。

​ 这里我们讨论关于取模运算的乘法逆元，即对于整数 a，与 a 互质的数 b 作为模数，当整数 x 满足 ax mod b≡1 时，称 x 为 a 关于模 b 的逆元，代码表示就是

a*x % b == 1

。

这部分的实现代码如下：

publicstaticint[]get_inverse(int a,int b){//        a*x = 1 mod b//        b*y = 1 mod a//        已知a、b，返回x, yif(b ==0){int[] l ={1,0};return l;}else{int[] r =get_inverse(b, a % b);int x1, x2, y1, y2;
            x2 = r[0];
            y2 = r[1];
            x1 = y2;
            y1 = x2 -((int)a / b)* y2;int[] r2 ={x1, y1};return r2;}}

4.生成公钥和私钥

1. 随机生成两个大素数p 、 q ( p ! = q ) ；
2. n = p ∗ q , s = ( p − 1 ) ∗ ( q − 1 ) ；
3. 随机取一个大整数e ，使得2 ≤ e ≤ s − 1且 g c d ( e , s ) = 1；
4. 用扩展欧几里得算法求e 的乘法逆元 d ( e ∗ d = 1 m o d s , d > 0 ) ；
5. 公钥为( n , e )，私钥为( n , d )；

publicstaticint[][]create_key()throwsException{//        创建公钥和私钥int p, q, n, s;while(true){
            p =newRandom().nextInt(90)+10;if(is_prime(p)){break;}}while(true){
            q =newRandom().nextInt(90)+10;if(is_prime(q)&& q != p){break;}}
        n = p * q;
        s =(p -1)*(q -1);int d,e;System.out.println("n="+String.valueOf(n)+",s="+String.valueOf(s));while(true){
            e =newRandom().nextInt(s -3)+2;if(gcd(e, s)==1){
                d =get_inverse(e,s)[0];if(d>0){break;}}}int[][] r ={{n,e},{n,d}};return r;}

【总体实现】

importjava.math.BigInteger;importjava.util.Random;importjava.util.Scanner;publicclass millionaire{publicstaticvoidmain(String[] args)throwsException{//        Alice的财富为i，Bob的财富为j，取值为0~10//        Alice选择一个随机大整数x//        Alice和Bob约定使用RSA算法//        Bob用RSA算法生成公钥和私钥，将公钥发给Alice//        Alice使用Bob的公钥加密x得C=E(x)，并发送C-i给Bob//        Bob使用私钥计算Y(u) = D(C-i+u) (1<=u<=10)//        Bob随机取一个小于x的大整数p，将Y(u) mod p得到Z(u)，验证对所有Z(u)都满足0<Z(u)<p-1。若不满足则更换p重新计算//        再将Z(u)从第j-1位开始向右均+1得到K(u)，然后将K(u)和p发给Alice//        Alice将K[i-1]与(x mod p)进行比较，如果相等，则说明i<j，即Alice不如Bob富有；若不相等，则说明i>=j，说明Alice比BOb富有或者和Bob一样富有Scanner input =newScanner(System.in);System.out.print("Alice:");int i = input.nextInt();System.out.print("Bob:");int j = input.nextInt();int x;while(true){
            x =newRandom().nextInt(90)+10;if(is_prime(x)){break;}}System.out.println("随机整数x="+String.valueOf(x));int[] pbk, pvk;int[][] r =create_key();
        pbk = r[0];
        pvk = r[1];System.out.println("公钥(n,e)=("+String.valueOf(pbk[0])+","+String.valueOf(pbk[1])+")\n"+"私钥(n,d)=("+String.valueOf(pvk[0])+","+String.valueOf(pvk[1])+")");intC=encrypt(x, pbk);System.out.println("Alice发送C-i="+String.valueOf(C- i)+"给Bob");int[]Y=newint[10];for(int u =1; u<11;u++){Y[u -1]=decrypt(C-i+u,pvk);}System.out.println("Y="+toS(Y).toString());int p =newRandom().nextInt(x -11)+10;int[]Z=newint[10];while(true){for(int u =0; u<10;u++){Z[u]=Y[u]% p;}if(max(Z)< p -1&&min(Z)>0){break;}
            p =newRandom().nextInt(x -11)+10;}System.out.println("p="+String.valueOf(p)+"\nZ="+toS(Z).toString());for(int u=0;u<10;u++){if(u>=j+1){Z[u]=Z[u]+1;}}System.out.println("k="+toS(Z).toString());if(Z[i-1]== x % p){if(i<j){System.out.println("Bob更富有");}else{System.out.println("验证错误，i应该大于j，Alice可能更富有，也可能和Bob一样富有");}}else{if(i >= j){System.out.println("Alice可能更富有，也可能和Bob一样富有");}else{System.out.println("验证错误，j应该大于i，Bob更富有才对");}}}publicstaticStringBuffertoS(int[]d){StringBuffer stringBuffer =newStringBuffer();
        stringBuffer.append("[ ");for(int i=0;i<d.length;i++){
            stringBuffer.append(d[i]);
            stringBuffer.append(" ");}
        stringBuffer.append(" ]");return stringBuffer;}publicstaticintgcd(int n,int m){int z =0;while(m%n !=0){
            z = m%n;
            m = n;
            n = z;}return n;}publicstaticintmax(int[]d){int m = d[0];for(int i =1; i<d.length;i++){if(m<d[i]){
                m = d[i];}}return m;}publicstaticintmin(int[]d){int m = d[0];for(int i =1; i<d.length;i++){if(m>d[i]){
                m = d[i];}}return m;}publicstaticbooleanis_prime(int x)throwsException{if(x <=1){thrownewException("0和1既不是素数也不是合数，x应为大于1的正整数");}for(int i =2; i <(int)(Math.sqrt(x)+1); i++){if(x % i ==0){returnfalse;}}returntrue;}publicstaticint[]get_inverse(int a,int b){//        a*x = 1 mod b//        b*y = 1 mod a//        已知a、b，返回x, yif(b ==0){int[] l ={1,0};return l;}else{int[] r =get_inverse(b, a % b);int x1, x2, y1, y2;
            x2 = r[0];
            y2 = r[1];
            x1 = y2;
            y1 = x2 -((int)a / b)* y2;int[] r2 ={x1, y1};return r2;}}publicstaticint[][]create_key()throwsException{//        创建公钥和私钥int p, q, n, s;while(true){
            p =newRandom().nextInt(90)+10;if(is_prime(p)){break;}}while(true){
            q =newRandom().nextInt(90)+10;if(is_prime(q)&& q != p){break;}}
        n = p * q;
        s =(p -1)*(q -1);int d,e;System.out.println("n="+String.valueOf(n)+",s="+String.valueOf(s));while(true){
            e =newRandom().nextInt(s -3)+2;if(gcd(e, s)==1){
                d =get_inverse(e,s)[0];if(d>0){break;}}}int[][] r ={{n,e},{n,d}};return r;}publicstaticintencrypt(int content,int[] pbkey){BigInteger c =newBigInteger(String.valueOf(content));BigInteger p0 =newBigInteger(String.valueOf(pbkey[0]));int r =(c.pow(pbkey[1]).mod(p0)).intValue();return r;//        return (int)Math.pow(content, pbkey[1]) % pbkey[0];}publicstaticintdecrypt(int encrypt_content,int[] pvkey){BigInteger c =newBigInteger(String.valueOf(encrypt_content));BigInteger p0 =newBigInteger(String.valueOf(pvkey[0]));int r =(c.pow(pvkey[1]).mod(p0)).intValue();return r;//        return (int)Math.pow(encrypt_content, pvkey[1]) % pvkey[0];}}

【测试结果】

ps：本人也是这方面知识的初学者，如果有什么认识不到位或者错误的地方恳请批评指正。