洛必达法则
若满足
0
0
,
∞
∞
\dfrac 00,\dfrac \infty\infty
00,∞∞型，则
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}
limg(x)f(x)=limg′(x)f′(x)
0 0 , ∞ ∞ \dfrac 00,\dfrac \infty\infty 00,∞∞可直接使用洛必达， ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , 0 0 \infty-\infty,0\cdot\infty,1^\infty,\infty^0,0^0 ∞−∞,0⋅∞,1∞,∞0,00则需转化成 0 0 , ∞ ∞ \dfrac 00,\dfrac \infty\infty 00,∞∞才能使用- 若 lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} limg′(x)f′(x)仍满足 0 0 , ∞ ∞ \dfrac 00,\dfrac \infty\infty 00,∞∞型，则可继续用 lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) = lim f ′ ′ ( x ) g ′ ′ ( x ) \lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim \dfrac{f''(x)}{g''(x)} limg′(x)f′(x)=limg′′(x)f′′(x)
- 洛必达不是万能的，求极限首选无穷小替换，再用洛必达。
0
0
\dfrac 00
00型未定式
求
lim
x
→
0
e
x
−
e
−
x
−
2
x
x
−
sin
x
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}
x→0limx−sinxex−e−x−2x
解：原式
=
lim
x
→
0
e
x
+
e
−
x
−
2
1
−
cos
x
=
lim
x
→
0
e
x
+
e
−
x
−
2
1
2
x
2
=
lim
x
→
0
e
x
−
e
−
x
x
=
lim
x
→
0
e
x
+
e
−
x
=
2
=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x+e^{-x}-2}{\frac 12 x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}e^x+e^{-x}=2
=x→0lim1−cosxex+e−x−2=x→0lim21x2ex+e−x−2=x→0limxex−e−x=x→0limex+e−x=2
1
−
cos
x
1-\cos x
1−cosx可经过无穷小替换变为
1
2
x
2
\frac 12x^2
21x2
∞
∞
\dfrac{\infty}{\infty}
∞∞型未定式
求
lim
x
→
0
+
ln
sin
3
x
ln
sin
5
x
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\ln \sin 3x}{\ln \sin 5x}
x→0+limlnsin5xlnsin3x
解：原式
=
lim
x
→
0
+
1
sin
3
x
⋅
cos
3
x
⋅
3
1
sin
5
x
⋅
cos
5
x
⋅
5
=
lim
x
→
0
+
3
cos
3
x
5
cos
5
x
⋅
lim
x
→
0
+
sin
5
x
sin
3
x
=
3
5
⋅
lim
x
→
0
+
5
x
3
x
=
3
5
×
5
3
=
1
=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\frac{1}{\sin 3x}\cdot \cos 3x \cdot 3}{\frac{1}{\sin 5x}\cdot \cos 5x \cdot 5}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{3\cos 3x}{5\cos 5x}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin 5x}{\sin 3x}=\dfrac 35\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{5x}{3x}=\dfrac 35\times\dfrac 53=1
=x→0+limsin5x1⋅cos5x⋅5sin3x1⋅cos3x⋅3=x→0+lim5cos5x3cos3x⋅x→0+limsin3xsin5x=53⋅x→0+lim3x5x=53×35=1
a
>
0
a>0
a>0时，
cos
a
x
\cos ax
cosax趋近于
1
1
1
∞
−
∞
\infty-\infty
∞−∞型未定式
求
lim
x
→
1
(
x
x
−
1
−
1
ln
x
)
\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{\ln x})
x→1lim(x−1x−lnx1)
解：原式
=
lim
x
→
1
x
ln
x
−
x
+
1
(
x
−
1
)
ln
x
=
lim
x
→
1
ln
x
+
1
−
1
ln
x
+
(
x
−
1
)
1
x
=
lim
x
→
1
ln
x
ln
x
+
1
−
1
x
=
lim
x
→
1
1
x
1
x
+
1
x
2
=
1
2
=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x+1-1}{\ln x+(x-1)\dfrac 1x}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x}{\ln x+1-\dfrac 1x}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\dfrac 1x}{\dfrac 1x+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac 12
=x→1lim(x−1)lnxxlnx−x+1=x→1limlnx+(x−1)x1lnx+1−1=x→1limlnx+1−x1lnx=x→1limx1+x21x1=21
此处将
∞
−
∞
\infty-\infty
∞−∞型转为
0
0
\dfrac 00
00型
0
⋅
∞
0\cdot \infty
0⋅∞型未定式
求
lim
x
→
+
∞
(
π
2
−
arctan
x
)
x
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x)x
x→+∞lim(2π−arctanx)x
解：原式
=
lim
x
→
+
∞
π
2
−
arctan
x
1
x
=
lim
x
→
+
∞
−
1
1
+
x
2
−
1
x
2
=
lim
x
→
+
∞
x
2
1
+
x
2
=
1
=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan x}{\dfrac1x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-\dfrac{1}{1+x^2}}{-\dfrac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{1+x^2}=1
=x→+∞limx12π−arctanx=x→+∞lim−x21−1+x21=x→+∞lim1+x2x2=1
此处将
0
⋅
∞
0\cdot \infty
0⋅∞型转为
∞
∞
\dfrac{\infty}{\infty}
∞∞型
1
∞
1^\infty
1∞型不定式
求
lim
x
→
0
(
x
+
e
x
)
1
x
\lim\limits_{x\rightarrow 0}(x+e^x)^{\frac 1x}
x→0lim(x+ex)x1
解：原式
=
e
lim
x
→
0
ln
(
x
+
e
x
)
1
x
=
e
lim
x
→
0
ln
(
x
+
e
x
)
x
=
e
lim
x
→
0
1
+
e
x
x
+
e
x
=
e
2
=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln (x+e^x)^\frac1x}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+e^x)}{x}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1+e^x}{x+e^x}}=e^2
=ex→0limln(x+ex)x1=ex→0limxln(x+ex)=ex→0limx+ex1+ex=e2
此处用
e
e
e抬起，将
1
∞
1^\infty
1∞型转为
0
0
\dfrac 00
00型
0
0
0^0
00型未定式
求
lim
x
→
1
+
(
ln
x
)
tan
(
x
−
1
)
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}(\ln x)^{\tan (x-1)}
x→1+lim(lnx)tan(x−1)
解：原式
=
e
lim
x
→
1
+
ln
(
ln
x
)
tan
(
x
−
1
)
=
e
lim
x
→
1
+
tan
(
x
−
1
)
ln
(
ln
x
)
=
e
lim
x
→
1
+
(
x
−
1
)
ln
(
ln
x
)
=
e
lim
x
→
1
+
ln
(
ln
x
)
1
x
−
1
=
e
lim
x
→
1
+
1
ln
x
⋅
1
x
−
1
(
x
−
1
)
2
=
e
lim
x
→
1
+
−
(
x
−
1
)
2
x
ln
x
=
e
lim
x
→
1
+
−
2
(
x
−
1
)
ln
x
+
1
=
e
0
=
1
=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\ln (\ln x)^{\tan (x-1)}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\tan (x-1)\ln(\ln x)}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}(x-1)\ln(\ln x)}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x-1}}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\frac{1}{\ln x}\cdot \frac 1x}{-\frac{1}{(x-1)^2}}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-\frac{(x-1)^2}{x\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-\frac{2(x-1)}{\ln x+1}}=e^0=1
=ex→1+limln(lnx)tan(x−1)=ex→1+limtan(x−1)ln(lnx)=ex→1+lim(x−1)ln(lnx)=ex→1+limx−11ln(lnx)=ex→1+lim−(x−1)21lnx1⋅x1=ex→1+lim−xlnx(x−1)2=ex→1+lim−lnx+12(x−1)=e0=1
此处用
e
e
e抬起，将
0
0
0^0
00型转为
∞
∞
\dfrac{\infty}{\infty}
∞∞型
∞
0
\infty^0
∞0型未定式
1.求
lim
x
→
0
+
(
1
x
)
tan
x
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} (\dfrac 1x)^{\tan x}
x→0+lim(x1)tanx
解：原式
=
e
lim
x
→
0
+
ln
(
1
x
)
tan
x
=
e
lim
x
→
0
+
tan
x
ln
1
x
=
e
lim
x
→
0
+
−
x
ln
x
=
e
lim
x
→
0
+
−
ln
x
1
x
=
e
lim
x
→
0
+
−
1
x
−
1
x
2
=
e
lim
x
→
0
+
x
=
e
0
=
1
=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln(\frac 1x)^{\tan x}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\tan x\ln \frac 1x}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}-x\ln x}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}-\frac{\ln x}{\frac 1x}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}-\frac{\frac 1x}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x}=e^0=1
=ex→0+limln(x1)tanx=ex→0+limtanxlnx1=ex→0+lim−xlnx=ex→0+lim−x1lnx=ex→0+lim−−x21x1=ex→0+limx=e0=1
2.求
lim
n
→
+
∞
n
n
\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{n}
n→+∞limnn
解：原式
=
lim
n
→
+
∞
n
1
n
=
e
lim
n
→
+
∞
ln
n
1
n
=
e
lim
n
→
+
∞
ln
n
n
=
e
lim
n
→
+
∞
1
n
1
=
e
0
=
1
=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}n^{\frac 1n}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\ln n^{\frac 1n}}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln n}{n}}=e^{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac 1n}{1}}=e^0=1
=n→+∞limnn1=en→+∞limlnnn1=en→+∞limnlnn=en→+∞lim1n1=e0=1
两题都是用
e
e
e抬起，将
∞
0
\infty^0
∞0型转为
∞
∞
\dfrac{\infty}{\infty}
∞∞型
标签：
数学
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版权归原作者 tanjunming2020 所有， 如有侵权，请联系我们删除。
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