贪心算法之背包问题

问题描述：给定n种物品，1个背包，背包容量为c,每个物品i的价值为vi，重量为wi，如何选择装入物品能使背包的总价值最大？

注意：与0-1背包问题不同，在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1<=i<=n

形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量A=(x1,x2,…,xn), 0<=xi<=1【0~1表示取物品的某一部分】,1<=i<=n，使得 ∑ wixi≤c【物品的重量和小于背包总容量】而且∑ vixi达到最大。

算法思路：将物品按照单位重量价值进行排序（从大到小），将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包，若将这种物品全部装入背包后，背包还有多余容量，则选择单位重量价值次高的并尽可能多地装入背包。如果最后一件物品无法全部装入，则计算可以装入的比例，然后按比例装入。

代码实现：

数据结构：结构体

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 struct item{
 5     int weight;//物品的重量 
 6     int value;//物品的价值 
 7     float bi;//物品单位重量的价值 
 8     float rate;//使用率：1代表物品完整放入，小于1代表被分割后放入 
 9 }items[100];
10 bool cmp(const item &a,const item &b){
11     return a.bi>b.bi;
12 }
13 int main(){
14     int n;//n件物品
15     float c;//背包容量为c
16     cout<<"输入物品件数和背包容量："<<endl; 
17     cin>>n>>c;
18     cout<<"依次输入每件物品的价值和重量："<<endl;
19     float v[n],w[n];//v[n]：n件物品的价值，w[n]：n件商品的重量 
20     for(int i=0;i<n;i++){
21         cin>>items[i].value>>items[i].weight;
22         items[i].bi=items[i].value/items[i].weight;//计算单位重量价值
23         items[i].rate=0;//初始化每件物品的使用率 
24     }
25     sort(items,items+n,cmp);//按照单位重量的价值排序 
26     int sum=0,j=0;
27     for(j=0;j<n;j++){
28         if(items[j].weight<=c){//选择单位价值重量最大的并且不超过背包容量的 
29             items[j].rate=1;
30             sum+=items[j].weight;
31             c-=items[j].weight;
32             cout<<"重："<<items[j].weight<<"、价值："<<items[j].value<<"的物品被放入了背包"<<endl<<"放入比例："<<items[j].rate<<endl;
33         }
34         else break;
35     } 
36     if(j<n){//物品未装完 
37         items[j].rate=c/items[j].weight;//背包容量还剩c,计算出未装入的物品能装多少的比例 
38         sum+=items[j].rate*items[j].weight;//加上装入部分比例物品的重量 
39         cout<<"重："<<items[j].weight<<"、价值："<<items[j].value<<"被放入了背包"<<endl<<"放入比例："<<items[j].rate<<endl; 
40     }
41     return 0; 
42     
43     
44 }