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1. 前言
上篇文章,我们对整形是如何存储的做出了讲解,而在本篇文章中,我将讲解浮点型是如何存储的,以及对于浮点型数据之间的比较做出一个探究,相信在阅读本篇文章后,你会对数据在内存中的存储有一个新的认识。话不多说,我们进入正题。
2. 浮点型在内存中的存储
浮点数包括float(单精度浮点数)、double(双精度浮点数)、long double类型。
常见的浮点数有:
3.141E10//1.0 * (10 ^ 10)
而浮点数的取值范围的相关信息也在
float.h
中定义。
例如:
注:DBL_EPSILON和FLT_EPSILON分别是双精度浮点数和单精度浮点数的精度。
了解基本概念之后,我们再看一个关于浮点型存储的经典样例。
3. 例题引入
下列程序输出的结果是什么?
intmain(){int n =9;float* pFloat =(float*)&n;printf("n的值为:%d\n", n);//9printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);//0.000000*pFloat =9.0;printf("num的值为:%d\n", n);//1091567616printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);//9.000000return0;}
按照我们平常的思路,结果也许为:9,9.0,9,9.0,因为存进去什么样拿出来就应该是什么样,对于浮点型只要加上小数点后六位就好了,但是结果真的是这样吗?让我们运行一下:
发现结果和我们的想法大相庭径,那么说明浮点型和整形在内存中的存储方式是不同的!
接下来让我们了解一下浮点型的存储规则!
4. 浮点数存储规则
根据国际标准IEEE 754,任意一个二进制浮点数可以表示成下面的形式:
- (-1)^S * M * 2^E
- (-1)^S表示符号位,当S=0,V为正数;当S=1,V为负数。
- M表示有效数字,大于等于1,小于2。
- 2^E表示指数位。
4.1 浮点数的存
举个栗子:
5.5
二进制表示:101.1
解释:(1*2^2+0*2^1+1*2^0).(1*2^(-1))
开始转化:
101.1表示一个整数,所以S =0;
而二进制需要转化成如下形式表示M:101.1->1.011;M >=1&& M <2
由于小数点向左移动两位,所以指数位E为2;
表示结果:(-1)^0*1.011*2^2
S M E
通过如上步骤,5.5就正确按照规则存到了内存中!
我们在观察一下
S E M
在内存中是如何划分的:
32位浮点数:
对于32位浮点数,最高位的1位是符号位S,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M。
64位浮点数:
对于64位的浮点数,最高的1位是符号位S,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M。
IEEE 754的特殊规定:
有效数字M:
前面说过, 1≤M<2 ,也就是说,M可以写成1.xxxxxx 的形式,其中xxxxxx表示小数部分。
IEEE 754规定,在计算机内部保存M时,默认这个数的第一位总是1,因此可以被舍去,只保存后面的xxxxxx部分。
比如保存1.01的时候,只保存01,等到读取的时候,再把第一位的1加上去。这样做的目的,是节省1位有效数字。以32位浮点数为例,留给M只有23位,
将第一位的1舍去以后,等于可以保存24位有效数字。
指数E:
至于指数E,情况就比较复杂。
首先,E为一个无符号整数,这意味着,如果E为8位,它的取值范围为0255;如果E为11位,它的取值范围为02047。但是,我们知道,科学计数法中的E是可以出现负数的,所以IEEE 754规定,存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数,对于8位的E,这个中间数是127;对于11位的E,这个中间数是1023。
比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮点数时,必须保存成10+127=137,即10001001。
4.2 浮点数的取
了解了浮点数的存储,那么它将数据取出又是什么样的呢?
指数E从内存中取出可以分成三种情况:
E不全为0或不全为1:
这时,浮点数就采用下面的规则表示,即指数E的计算值减去12(或1023),得到真实值,再将有效数字M前加上第一位的1。
比如:
0.5(1/2)的二进制形式为
0.1
,由于规定正数部分必须为1,即将小数点右移1位,则为
1.0*2^(-1)
,在内存中为-1+127=126,表示为01111110,而尾数1.0去掉整数部分为0,补齐0到23位00000000000000000000000,
则其二进制表示形式为:0 01111110 00000000000000000000000
E全为0:
这时,浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023)即为真实值,
有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0,以及接近于0的很小的数字。
比如:
0.000000001 * 2 ^(-126),这是不是一个极小的数字,几乎接近于0(正负取决于符号位s)。
E全为1:
这时,若有效数字M全为0(0/1 11111111 00000000000000000000000),表示±无穷大。
若有效数字M不全为0,则表示有效数据,是一个非常大的值。
5. 例题解答
intmain(){int n =9;//补码:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001float* pFloat =(float*)&n;//浮点型存储:0 00000000 00000000000000000001001//E为全零,E = 1 - 127 = -126//M不再加上1,M = 0.00000000000000000001001//正数,S = 0//(-1)^0 * 0.00000000000000000001001 * 2^(-126)//几乎为0printf("n的值为:%d\n", n);//存储为整形,取出来也是按照整形的方式取:9printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);//0.000000*pFloat =9.0;//二进制表示:1001.0//小数点右移三位:1.001 * 2 ^ 3//S = 0//M = 1.001//E = 3(-1)^0 * 1.001 * 2^3//浮点型存储:0 01000010 00100000000000000000000printf("num的值为:%d\n", n);//1091567616//认为内存中放的是有符号整数,符号位为0,正数//认为二进制序列就是它的原码printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat);//存储为浮点型,取出来也是按照浮点型的方式取:9.000000return0;}
至此,浮点型的存储方式,你明白了吗?
6. 浮点型的精度探究(※)
此部分为浮点型存储的拓展部分,内容为对浮点型数据之间的比较和浮点型精度的讲解,由于这部分内容在实际学习时很少提及,故归为拓展部分,有兴趣的话可以了解一下。
(由于浮点数默认是double类型,使用float可能会出现告警,考虑到方便起见和double精度更高,所以以下内容均使用double类型)
6.1 浮点数的精度丢失
我们了解了浮点数的存储方式之后,发现浮点数在存储时有时是无法精确保存的,是可能会有精度损失的,注意这里的损失,不是一味的减少了,还有可能增多。浮点数本身存储的时候,在计算不尽的时候,会采用“四舍五入”或者其他策略。
样例:
intmain(){double x =3.6;printf("%.50lf\n", x);return0;}
运行结果:
6.2 浮点数之间如何比较
上述例子意味着,浮点数存入时数据会不一样,这是否说明浮点数之间无法正常比较?事实胜于雄辩,接着探究:
intmain(){double x =1.0;double y =0.1;printf("%.50lf\n", x -0.9);printf("%.50lf\n", y);if((x -0.9)==0.1){printf("==");}else{printf("!=");}return0;}
运行结果:
我们观察结果,发现不仅存储的内容发生了变化,而且直接用
==
相比较得出的结果也是不等于,那么浮点数之间是如何比较的?应该如何理解?
C语言中浮点数应该进行范围精度比较!!!
如图:两个浮点数只要进行比较时,它们的差值,只需要在
-EPS ~ EPS
的精度范围内,那么便认定两个数相等!!!
同样的,条件也可以写成绝对值的形式:
fabs((x - y) < EPSLION)
。fabs是一个库函数,计算变量的绝对值,相关头文件为
#include<math.h>
。
这里的EPSILON是精度,精度分为系统提供的精度(float.h中定义)和自定义的精度:
自定义的精度:
#defineEPS0.00000000000001//自定义的精度,名字,数值可以自定义
系统提供的精度:
#defineDBL_EPSILON//系统提供的精度,需要引头文件#include<float.h>
转到定义观察一下:
这个数小到什么程度呢?1.0虽然加很多数据都不等于1.0,但是这个
DBL_EPSILON
是最小的。
使用精度后,再进行比较:
//#define EPS 0.00000000000001//自定义方案#defineDBL_EPSILON//系统提供的精度,是一个非常小的值#include<stdio.h>#include<float.h>#include<math.h>intmain(){double x =1.0;double y =0.1;printf("%.50lf\n", x -0.9);printf("%.50lf\n", y);//if (fabs((x - 0.9) - y) < EPS)//自定义if(fabs((x -0.9)- y)< DBL_EPSILON)//系统{printf("==\n");}else{printf("!=\n");}return0;}
运行结果:
6.3 浮点数和0比较
对于两个浮点数之间比较写做
x - y
的形式,那么对于浮点数和0比较就为
x - 0
,直接写做x即可。
样例:
#include<float.h>#include<stdio.h>#include<math.h>intmain(){double x =0.0;if(fabs(x)< DBL_EPSILON)//fabs(x - 0)//if(x > -DBL_EPSILON && x < DBL_EPSILON){printf("yes\n");//一个浮点数和0比较,只要保证它的绝对值在精度范围内就相等}return0;}
运行结果:
但是,浮点数和零值比较要不要相等?
x >= -DBL_EPSILON && x <= DBL_EPSILON)
(
fab(x) <= DBL_EPSILON
)?
精度是引起x变化的最小值,但是精度 + x依旧能引起精度变化;
如果写成fab(x) <= DBL_EPSILON;也就是fab(x) == DBL_EPSILON的形式,这时x就是精度;
double y + x != y;也就是加上x(精度)会引起变化,相当于double y + DBL_EPSILON != y;
但是y + 0.0 == y,y加上零值时,值是不会变的!!!
因为精度本身就会引起值的变化,只是很小而已,就不符合0的概念;
写法比较矛盾,不建议写上等号!!!
所以,浮点数和零值进行比较,只要保证浮点数的绝对值在精度范围内,就判定浮点数和零值相等,且比较时,不建议加上等号。
7. 结语
到这里本篇博客到此结束,相信通过这两篇文章,大家也可以对数据在内存中的存储有了一定的认识,虽然这些知识并不会对编程能力有很大的提高,但是能扩大我们看待问题的视角,也算修炼了"内功"。
如果觉得anduin写的还不错的话,还请一键三连!
我是anduin,一名C语言初学者,我们下期见!
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