【数据结构和算法】01 背包的应用

🎈 作者：Linux猿

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「背包问题」在算法中经常用到，尤其是「01 背包」，下面就来看一下 「01 背包」的应用。

🍓一、题目描述

给定一个只包含正整数的非空数组 nums 。请判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

提示：

1 <= nums.length <= 200

1 <= nums[i] <= 100

🔶🔶🔶🔶🔶 我是华丽的分割线 🔶🔶🔶🔶🔶

🍓二、测试样例

🥝2.1 样例 1

输入：nums = [1,5,11,5]

输出：true

说明：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] ，两者之和都为 11。

🥝2.2 样例 2

输入：nums = [1,2,3,5]

输出：false

说明：数组之和为 11，显然不能分割成两个元素和相等的子集。

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🍓三、算法思路

本题可以将题意简化为：

判断正整数数组 nums 是否存在一个子集，这个子集的和为 nums 数组中所有值和的一半。

题意转化后就好解题了，就是在 nums 中挑选一些数字，这些数字之和正好组成一个给定的数，很明显是一个「背包问题」，因为物品（nums 中的数字）不能重复选择，所以是一个 「背包」问题。

「01 背包」问题可以 关注专栏 数据结构和算法成神路【精讲】

注意：这里要求背包正好装满（挑选的子集中的数字之和正好为 nums 数组所有数和的一半）。

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🍓四、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string.h>
using namespace std;

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        //1. 计算 nums 中所有数字的和
        for(int i = 0; i < (int)nums.size(); ++i) {
            sum += nums[i];
        }
        // sum 如果为奇数，必定不能分割
        if(sum%2) return false;
        sum /= 2;

        //使用 bool 类型即可
        bool dp[sum + 5];
        memset(dp, false, sizeof(dp));
        dp[0] = true;
        // 01 背包
        for(int i = 0; i < (int)nums.size(); ++i) {
            for(int j = sum; j >= nums[i]; --j) {
                if(dp[j - nums[i]]) {
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
        return dp[sum];
    }
};

int main()
{
    //test
    int a[] = {1, 5, 11, 5};
    vector<int>nums(a, a + 4);

    //int b[] = {2, 2, 3, 5};
    //vector<int>nums(b, b + 4);

    Solution obj;
    cout<<obj.canPartition(nums)<<endl;
    return 0;
}

其中，sum 为计算 nums 数组中的所有数字之和。第一个 for 循环计算 nums 数组中的所有数字之和。

接下来的两层 for 循环是 01 背包算法，遍历数组判断容量为 sum/2 的背包是否能够正好装满。

通过后的截图如下所示。

​

图1 通过截图

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🍓五、复杂度分析

🥝5.1 时间复杂度

时间复杂度为：O(n*m)，其中，n 为 nums 数组长度，m 为 nums 数组值总和的一半。在上述代码中，时间复杂度主要在「01 背包」（两层 for 循环）处，所以总的时间复杂度为 O(n * m)。

🥝5.2 空间复杂度

**空间复杂度：O(m)**，在上述算法中，使用到了一个 dp 数组记录背包的容量，所以空间复杂度为 O(m)。

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🍓六、总结

本题需要在理解题意的基础上，转化为 01 背包算法解决。

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