softmax 函数在机器学习中无处不在：当远离分类边界时，它假设似然函数有一个修正的指数尾。
但是新数据可能不适合训练数据中使用的 z 值范围。如果出现新的数据点softmax将根据指数拟合确定其错误分类的概率；错误分类的机会并不能保证遵循其训练范围之外的指数（不仅如此——如果模型不够好，它只能将指数拟合到一个根本不是指数的函数中）。为避免这种情况将 softmax 函数包装在一个范围限制的线性函数中（将其概率限制在 1/n 和 1-1/n 之内）可能会有所帮助，其中 n 是训练数据中的样本数：
但是我们将通常的 softmax 函数视为最佳拟合曲线而不是似然函数，并根据（离散）高斯统计（首先用于两类）计算其误差：
简化这个表达式后，我们得到：
我们绘制原始函数以及 n=50,500,10000,1000000 的新高斯 softmax 函数：
我们看到，该函数仅在 n<500 左右时出现不同（它是 log(n-1)/2）。其实并不是这样，我们绘制 n = 100 万的函数的对数：
虽然通常的 softmax 函数的概率是无界的，并且很快就用100万个数据点实现了1 / 10¹²的准确性，新的高斯 softmax 函数基于样本数量稳定在超过 10⁶ 的水平。
将初始线性缩放softmax函数与n = 100万的高斯softmax函数进行比较(我们查看对数图，因为它们在线性图上看起来是一样的):
可以看到虽然两者都接近10分之1的极限、但它们的同质率却非常不同，线性逼近达到最高精度的速度大约是高斯softmax函数的两倍。
最后，我们绘制n = 50的所有三个函数:
由于链式法则，新高斯softmax函数的导数计算并不比原softmax函数的导数更难:
贝叶斯和Evidential Neural Networks 被用于计算使用深度学习做出的预测的实际概率。但是在许多情况下，softmax函数的输出仍然被用作预测准确的概率。本文提出了一种基于最小误差界和高斯统计量的softmax函数的安全快速扩展，可以在某些情况下作为softmax的替代
如何将其扩展到两个以上的类？
扩展到两个以上的类在数学上很简单，只需将 1-sigma 的高斯替换为单个 sigma 上高斯的总和。以 n-1 作为基数，找到 1/n 的下限和 (n-1)/n 的上限，并且可以通过对所有中间 sigma 求和以封闭形式计算导数。但是以下这种情况：有11 个类，一个（称为 A）的 sigma 为 0，其他的 sigma 为 0.1，我们可能认为它是 1/n，使用通常的 softmax会返回 A 的概率为0，而高斯softmax返回1/(10*n^(1/10))。因为我们不知道它到底是什么（各个分类概率很”平均“），因为n < 100 万时返回约为 0.04，其他类为 0.095（因为N对值不太敏感），这意味着基于真正看到的内容的不确定性，存在明显的溢出效应。
所以高斯 softmax 的不适合有许多彼此非常接近的类别（例如猫的品种）和彼此相距很远的类别（例如猫与船等）混合的数据。但是对一些可以将“我不确定”进行后处理的情况高斯 softmax 还是可以使用的，比如推荐用户进一步收集数据等。
作者：Alex Roberts