动态规划入门之0-1背包问题与完全背包问题

0-1背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

先放代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;//物品种数和背包体积
    int f[1005][1005];
    int v[1005],w[1005];//物品体积和价值
    
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(j<v[i])//不选择的情况
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
            else//选择的情况
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout<<f[n][m];
}

题解

状态定义：

本质上就是从i个物品中选择一定数量的物品在一定空间限制的前提下，求这些物品的最大总价值，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，这个数组的值就表示从前i件物品进行选择，在不超过容量j的前提下所满足最大的物品总价值。（注：此处的第i件物品对应与数组下标i）

确定初始状态：

当只有一个物品时，如果该物品的体积v不大于背包容量j，则初始值dp[0][j]=w[0]，否则dp[0][j]=0。

状态转移方程：

对于第i件物品，设它的所占容量为v[i]，价值为w[i]，我们可以选择该物品也可以不选择该物品，如果不选择该物品则d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j]=dp[i-1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]，如果选择该物品有两种情况：

背包剩余空间不够了，那么此时就无法选择该物品，d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j]=dp[i-1][j]dp[i][j]=dp[i−1][j]。
背包剩余空间充足，那么此时的物品总价值为d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]] + w[i]dp[i][j]=dp[i−1][j−v[i]]+w[i]。
综上，转移方程为d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] ) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],\ dp[i-1][j-v[i]]+w[i])dp[i][j]=max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−v[i]]+w[i])。

（1）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解：

对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。

（2）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 i 个物品：

选则情况下：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
不选择的情况下：f[i][j] = f[i - 1][j]

有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

完全背包问题

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

解题代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;//物品种数和背包体积
    int f[1005][1005];
    int v[1005],w[1005];//物品体积和价值
    
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(j<v[i])
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
            else
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout<<f[n][m];
}

可以看到和0-1背包问题相比，题解唯一的差别只是在选择物品的情况下

变成了：f[i][j] = f[i][j - v[i]] + w[i]

因为这个物品可以无限次被重复选择，所以我们将f[i]的情况也可以加入进来，所以得到题解如上