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RSA加解密算法的简单实现

就前不久完成的RSA加解密实现这一实验来水一篇文章

算法原理:

一.米勒拉宾素性检测算法

米勒-拉宾(MillerRabbin)素性测试算法是一个高效判断素数的方法。

其涉及到的原理如下:

    1、费马小定理:如果p为质数           ![](https://img-blog.csdnimg.cn/e789ced4348045058976aa64d009d93e.png) (在mod p 的情况下)

    2、对于任意一个小于p的正整数x,发现1(模p)的非平凡平方根存在,则说明p是合数。

其中定理第二部分可以理解为:

如果p是一个素数,0 < x< p, 则方程 ≡ 1(mod p) 的解为 x=1 ,x= p-1

反之如果 x^ 2 ≡ 1(mod p) 的解不是 x=1 ,x= p-1 那 p 就不是素数

二.拓展欧几里得算法

如果a、b是整数,那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)

1、首先,对于要求最大公约数的两个数 a, b 一定存在满足上式关系;

2、对上式往下层层递推:

(1)…ax + by = gcd (a, b);

(2)…bx1 + a % by1 = gcd (b, a%b); (运用欧几里算法)

(3)…gcd (a, b) = gcd(b,a%b); (欧几里得算法)

(4)…ax + by = b x1 + a % b*y1; (在计算机里 a % b = (a - a / b * b))

(5)…ax + by = bx1 + ay1 - a / b * by1;

(6)…ax + by = ay1 + b (x1 - a / b) y1; (合并同类项)

(7)…x = y1, y = x1 - a / b * y1; (结论)

由此得出结论,每一层的 x 都等于下一层的 y,每一层的 y 都等于下一层的 x1 - a / b * y1;

三.模平方重复算法

模平方重复算法可用于快速幂的实现,是RSA加解密的重要组成部件。具体见下图,大致思路为将指数转化为2进制形式,然后循环相乘并取模。

四.RSA加解密原理

RSA算法主要包括:密钥生成,加密过程和解密过程。

(1)加密过程。在密钥生成过程中,首先生成两个大的质数(素数)p和q,令n=pq ;m=(p-1)(q-1),选取较小的数e,使e 和m互质,即e和m的最大公约数为1,然后生成d,使d*e(mod m)=1,最后丢弃P,q,m,则加密密钥为e, n,解密密钥为d和n.

(2) 加密过程。将明文x加密成密文y的计算公式为:y=x^e (mod n)。从公式可见,加密牵涉到明文和加密密钥。因此,密文即使被截获,也无法被解读。

(3) 解密过程。将密文y解密成明文x的计算公式为:x=y^d (mod n)。从公式可见,解密至牵涉到解密密钥和密文。

  • 算法设计

快速幂算法

利用模平方重复思想,快速进行幂指数运算

int pow_mod(int a,int b,int c){

    int res=1;

        while(b){

              if((b&1)==1)res=(res*a)%c;

                a=(a*a)%c;

                b>>=1;

        }

        return (res+c)%c;

}

随机大素数(p,q)生成算法

将系统时间作为种子,产生随机数,并利用米勒拉宾算法进行检测,生成两个不相等的大素数。

//米勒拉宾素性检测

bool Miller_Rabbin(int a,int n){

    //把n-1  转化成 (2^r)*d

    int s=n-1,r=0;

    while((s&1)==0){

        s>>=1;r++;

    }

   

    //算出 2^d  存在 k 里

    int k=pow_mod(a,s,n);

   

    //二次探测  看变化过程中是不是等于1 或 n-1

    if(k==1)return true;

    for(int i=0;i<r;i++,k=k*k%n){

        if(k==n-1)return true;

    }

    return false;

}

//素性判定

bool isprime(int n){

    int times=7;

    int prime[100]={2,3,5,7,11,233,331};

    for(int i=0;i<times;i++){

        if(n==prime[i])return true;

        if(Miller_Rabbin(prime[i],n)==false)return false;//未通过探测 返回假

    }

    return true;//所有探测结束 返回真

}

//利用米勒拉宾素性检测产生随机素数(100以内)

int produceRandom(){

       time_t t;

       int randnum;

       do{

              srand((unsigned)time(&t));

        randnum = (rand())%100;

        if(isprime(randnum))return randnum;

       }while(1);

}

扩展欧几里得求逆元

根据扩展欧几里得算法求得e相对于F_n的逆元d

//拓展欧几里得算法求逆元 

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    int t,gcd;

    if(b==0)

    {

        x=1,y=0;

        return a;

    }

    gcd=exgcd(b,a%b,x,y);

    t=x,x=y,y=t-a/b*y;

    return gcd;

}
  • 运行结果

对“明文.txt”进行加密得到“密文.txt”

对“密文.txt”进行解密得到“解密文.txt”

由此可见,英文大小写均可实现随机密钥的加解密

源码如下:

#include<cstdio>
#include<fstream>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;

int p = 0;
int q = 0;
int len = 0;

//拓展欧几里得算法求逆元  
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int t,gcd;
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x,x=y,y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
//快速幂(模平方重复)
int pow_mod(int a,int b,int c){
    int res=1;
        while(b){
              if((b&1)==1)res=(res*a)%c;
                a=(a*a)%c;
                b>>=1;
        }
        return (res+c)%c;
}
//米勒拉宾素性检测
bool Miller_Rabbin(int a,int n){
    
    //把n-1  转化成 (2^r)*d
    int s=n-1,r=0;
    while((s&1)==0){
        s>>=1;r++;
    }
    
    //算出 2^d  存在 k 里
    int k=pow_mod(a,s,n);
    
    if(k==1)return true;
    for(int i=0;i<r;i++,k=k*k%n){
        if(k==n-1)return true;
    }
    return false;
}
bool isprime(int n){
    int times=7;
    int prime[100]={2,3,5,7,11,233,331};
    for(int i=0;i<times;i++){
        if(n==prime[i])return true;
        if(Miller_Rabbin(prime[i],n)==false)return false;//未通过探测 返回假
    }
    return true;//所有探测结束 返回真
}
//利用米勒拉宾素性检测产生随机素数(100以内)
int produceRandom(){
    int randnum;
    do{
        randnum = (rand())%100;
        if(isprime(randnum))return randnum;
    }while(1); 
}

int main(){
    srand(time(NULL));
    int i;
here:
    p = produceRandom();
    q = produceRandom();
    while(q==p)q=produceRandom();//p和q不能相等
    int n = p*q;
    while(n<128)goto here; //确保n足够大,因为char为八位即-128~127,所以n至少要大于127
    int F_n = (p-1)*(q-1);
    int x,y;
    int e = 7;
    exgcd(e,F_n,x,y);
    int d = (x + F_n) % F_n;
    int flag;
    while(1){
        char text[1000]="";
        cout<<"请选择功能:\n 1.加密文件\n 2.解密文件\n 0.退出"<<endl;
        cin>>flag;
        if (!flag) break;
        else if ((flag != 1) && (flag != 2))
        {
            cout << "输入不合法,请重新输入!" << endl << endl;
            continue;
        }
        switch (flag)
        {
        case 1:{
            char ch;
            cout<<"加密密钥为:("<<e<<','<<n<<')'<<endl;
            ofstream ofs;
            ifstream ifs;
            ofs.open("密文.txt",ios::trunc|ios::out);
            ifs.open("明文.txt",ios::in);
            i = 0;
            while(ifs>>ch){
                text[i++]=ch;
            }
            len = strlen(text);
            int ming [strlen(text)];
            for(i = 0;i<strlen(text);i++){
                ming[i]=text[i];
                ming[i]=pow_mod(ming[i],e,n);
                ofs<<ming[i]<<' ';
            } 
            ofs.close();
            ifs.close();
            break;}     
        case 2:{
            char ch;
            int c[len];
            cout<<"解密密钥为:("<<d<<','<<n<<')'<<endl;
            ofstream ofs;
            ifstream ifs;
            ofs.open("解密文.txt",ios::trunc|ios::out);
            ifs.open("密文.txt",ios::in);
            for(i = 0;i<len;i++){
                ifs>>c[i];
                ch = pow_mod(c[i],d,n);
                ofs<<ch;
            }
            ofs.close();
            ifs.close();
            break;}   
        }
    }
    return 0;
}

参考文章:

https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81750874?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522165358238516781685374707%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=165358238516781685374707&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-81750874-null-null.142^v11^pc_search_result_control_group,157^v12^control&utm_term=%E6%8B%93%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95&spm=1018.2226.3001.4187https://blog.csdn.net/destiny1507/article/details/81750874?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522165358238516781685374707%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=165358238516781685374707&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-81750874-null-null.142%5ev11%5epc_search_result_control_group,157%5ev12%5econtrol&utm_term=%E6%8B%93%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95&spm=1018.2226.3001.4187

米勒-拉宾素性检验(MillerRabbin)算法详解_1900_的博客-CSDN博客_米勒拉宾素性检验

标签: 算法 c++ 安全

本文转载自: https://blog.csdn.net/weixin_58019136/article/details/125131056
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